Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có đúng $9$ số nguyên $y$ thỏa mãn $\left( {{2}^{y+1}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{3}^{y}}-x \right)<0$ ?
A. $64$.
B. $67$.
C. $128$.
D. $53$.
*) TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{y+1}}-{{x}^{2}}>0 \\
& {{3}^{y}}-x<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1<y<{{\log }_{3}}x$ (1)
- Điều kiện cần: ${{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1<{{\log }_{3}}x\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x-1-{{\log }_{3}}x<0$ (2)
Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{\log }_{2}}x-1-{{\log }_{3}}x$, với $x\in \mathbb{N}*$.
Có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{x.\ln 2}-\dfrac{1}{x.\ln 3}=\dfrac{2\ln 3-\ln 2}{x.\ln 2.\ln 3}>0;\forall x\in \mathbb{N}*$ ; mà $f\left( 1 \right)<0;f\left( 2 \right)>0$.
Do đó bất phương trình $\left( 2 \right)$ có 1 nghiệm nguyên dương là $x=1$.
- Thử lại: Với $x=1$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -1<y<0$ (loại)
*) TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{y+1}}-{{x}^{2}}<0 \\
& {{3}^{y}}-x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x<y<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\text{ }\left( 3 \right)$
Giả sử $y$ là nghiệm nguyên nhỏ nhất. Khi đó để có đúng $9$ số nguyên $y$ thoả mãn $\left( 3 \right)$ thì
$y-1\le {{\log }_{3}}x<y<y+1<...<y+8<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\le y+9$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{y-1}}\le x<{{3}^{y}} \\
& {{2}^{\dfrac{y+9}{2}}}<x\le {{2}^{\dfrac{y+10}{2}}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( I \right)$
Hệ bất phương trình trên vô nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{\dfrac{y+10}{2}}}<{{3}^{y-1}} \\
& {{3}^{y}}\le {{2}^{\dfrac{y+9}{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y>6,06... \\
& y\le 4,14.... \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên hệ $\left( I \right)$ có nghiệm$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=5 \\
& y=6 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ta chỉ có hai trường hợp sau thỏa mãn bài toán
+ Với $y=5$ nghĩa là $4\le {{\log }_{3}}x<5;6;...;13<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\le 14$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{\log }_{2}}x-1\le 14 \\
& 2{{\log }_{2}}x-1>13 \\
& {{\log }_{3}}x\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\le 108,02 \\
& x>128 \\
& x\ge 81 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow 128<x<181,02 $ $ \Rightarrow $ $ x\in \left\{ 129;...181 \right\} $ có $ 53$ số nguyên.
+ Với $y=6$ nghĩa là $5\le {{\log }_{3}}x<6;7;...;14<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\le 15$
$\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}x\ge 5 \\
& 2{{\log }_{2}}x-1\le 15 \\
& 2{{\log }_{2}}x-1>14 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 243 \\
& x\le 256 \\
& x>181,02 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 243\le x\le 256 $ $ \Rightarrow $ $ x\in \left\{ 243;...256 \right\} $ có $ 14$ số nguyên.
Vậy có $53+14=67$ số nguyên.
A. $64$.
B. $67$.
C. $128$.
D. $53$.
*) TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{y+1}}-{{x}^{2}}>0 \\
& {{3}^{y}}-x<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1<y<{{\log }_{3}}x$ (1)
- Điều kiện cần: ${{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1<{{\log }_{3}}x\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x-1-{{\log }_{3}}x<0$ (2)
Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{\log }_{2}}x-1-{{\log }_{3}}x$, với $x\in \mathbb{N}*$.
Có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{x.\ln 2}-\dfrac{1}{x.\ln 3}=\dfrac{2\ln 3-\ln 2}{x.\ln 2.\ln 3}>0;\forall x\in \mathbb{N}*$ ; mà $f\left( 1 \right)<0;f\left( 2 \right)>0$.
Do đó bất phương trình $\left( 2 \right)$ có 1 nghiệm nguyên dương là $x=1$.
- Thử lại: Với $x=1$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -1<y<0$ (loại)
*) TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{y+1}}-{{x}^{2}}<0 \\
& {{3}^{y}}-x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x<y<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\text{ }\left( 3 \right)$
Giả sử $y$ là nghiệm nguyên nhỏ nhất. Khi đó để có đúng $9$ số nguyên $y$ thoả mãn $\left( 3 \right)$ thì
$y-1\le {{\log }_{3}}x<y<y+1<...<y+8<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\le y+9$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{y-1}}\le x<{{3}^{y}} \\
& {{2}^{\dfrac{y+9}{2}}}<x\le {{2}^{\dfrac{y+10}{2}}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( I \right)$
Hệ bất phương trình trên vô nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{\dfrac{y+10}{2}}}<{{3}^{y-1}} \\
& {{3}^{y}}\le {{2}^{\dfrac{y+9}{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y>6,06... \\
& y\le 4,14.... \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên hệ $\left( I \right)$ có nghiệm$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=5 \\
& y=6 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ta chỉ có hai trường hợp sau thỏa mãn bài toán
+ Với $y=5$ nghĩa là $4\le {{\log }_{3}}x<5;6;...;13<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\le 14$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{\log }_{2}}x-1\le 14 \\
& 2{{\log }_{2}}x-1>13 \\
& {{\log }_{3}}x\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\le 108,02 \\
& x>128 \\
& x\ge 81 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow 128<x<181,02 $ $ \Rightarrow $ $ x\in \left\{ 129;...181 \right\} $ có $ 53$ số nguyên.
+ Với $y=6$ nghĩa là $5\le {{\log }_{3}}x<6;7;...;14<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\le 15$
$\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}x\ge 5 \\
& 2{{\log }_{2}}x-1\le 15 \\
& 2{{\log }_{2}}x-1>14 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 243 \\
& x\le 256 \\
& x>181,02 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 243\le x\le 256 $ $ \Rightarrow $ $ x\in \left\{ 243;...256 \right\} $ có $ 14$ số nguyên.
Vậy có $53+14=67$ số nguyên.
Đáp án B.