Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để phương trình...

Do $m$ là số nguyên dương và $x\in \left[ -1;6 \right].$ nên $x+2+m>0$.
$\begin{aligned}
& {{2}^{x+1}}={{\log }_{4}}\left( x+2+2m \right)+m\Leftrightarrow {{2}^{x+2}}+x+2=x+2+2m+{{\log }_{2}}\left( x+2+2m \right) \\
& \Leftrightarrow {{2}^{x+2}}+x+2={{2}^{{{\log }_{2}}\left( x+2+2m \right)}}+{{\log }_{2}}\left( x+2+2m \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ với $t\in \mathbb{R}$ có $f\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)={{2}^{t}}+t \\
& {f}'\left( t \right)>0 \\
& f\left( x+2 \right)=f\left( {{\log }_{2}}\left( x+2+2m \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x+2={{\log }_{2}}\left( x+2+2m \right)\Leftrightarrow x+2+2m={{2}^{x+2}}\Leftrightarrow 2m={{2}^{x+2}}-x-2 $Xét hàm số $ g\left( x \right)=-x-2+{{2}^{x+2}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=-1+{{2}^{x+2}}.\ln 2>0\ \forall x\in \left[ -1;6 \right]$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $6\le 2m\le 248\Leftrightarrow 3\le m\le 124$. Mà $m>0$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4;...;124 \right\}$.
Vậy có 122 giá trị nguyên dương của tham số $m$ thoả mãn phương trình có nghiệm $x\in \left[ -1;6 \right].$.