Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho với mỗi $a$ có đúng hai...

TH1: $a=1 \Rightarrow\left(3^b-3\right)\left(2^b-16\right)<0$.
Nếu $b \leq 1$ hoặc $b \geq 4$ không thỏa mãn bpt và $b \in\{2 ; 3\}$ thỏa mãn.
Vậy $a=1$ thỏa mãn.
TH2: $a=2 \Rightarrow\left(3^b-3\right)\left(2.2^b-16\right)<0 \Leftrightarrow\left(3^b-3\right)\left(2^{b+1}-16\right)<0$.
Nếu $b \leq 1$ hoặc $b \geq 3$ không thỏa mãn bpt và $b=2$ thỏa mãn.
Vậy $a=2$ không thỏa mãn.
TH3: $a=3 \Rightarrow\left(3^b-3\right)\left(3.2^b-16\right)<0$.
Nếu $b \leq 1$ hoặc $b \geq 3$ không thỏa mãn bpt và $b=2$ thỏa mãn.
Vậy $a=3$ không thỏa mãn.
TH4: $a>3$.
Ta cần tìm $a$ để bpt $\left(3^b-3\right)\left(a .2^b-16\right)<0$ có 2 nghiệm $b$.
Nếu $b \geq 3 \Rightarrow\left(3^b-3\right)\left(a .2^b-16\right) \geq 24$. (3.8-16) > không thỏa mãn bpt.
Nếu $b=2 \Rightarrow\left(3^b-3\right)\left(a .2^b-16\right) \geq 6(4.4-16) \geq 0$ không thỏa mãn bpt.
Nếu $b=1$ không thỏa mãn.
Nếu $b<1 \Rightarrow\left(3^b-3\right)<0$. BPT tương đương $a .2^b-16>0$.
Hay $a>\dfrac{16}{2^b}$ có hai nghiệm $b$ suy ra $33 \leq a \leq 64$.
Kết hợp lại suy ra có tất cả 33 số nguyên dương $a$ thỏa mãn.
Cách 2:
Xét $\left(3^b-3\right)\left(a .2^b-16\right)=0$. Do $a \in \mathbb{N}^*$ nên $\left[\begin{array}{l}b=1 \\ b=\log _2 \dfrac{16}{a}\end{array}\right.$.
TH1: $\log _2 \dfrac{16}{a}>1 \Leftrightarrow a<8$.
BPT có đúng 2 nghiệm nguyên $b \Leftrightarrow 3<\log _2 \dfrac{16}{a} \leq 4 \Leftrightarrow 1 \leq a<2 \Rightarrow a=1$ (thỏa mãn).
TH2: $\log _2 \dfrac{16}{a}<1 \Leftrightarrow a>8$.
BPT có đúng 2 nghiệm nguyên $b \Leftrightarrow-2 \leq \log _2 \dfrac{16}{a}<-14 \Leftrightarrow 32<a \leq 64 \Rightarrow$ có 32 giá trị $a$.
Vậy có 33 giá trị của $a$ thỏa mãn.