Có bao nhiêu số nguyên dương $a$, $\left( a\le 2021 \right)$ sao...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x\ln a>0 \\
& a>0 \\
\end{aligned} \right.\overset{a\in {{\mathbb{N}}^{*}}}{\longleftrightarrow}\left\{ \begin{aligned}
& a\ge 2 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right. $. Đặt $ t=\ln \left( x\ln a \right)\Leftrightarrow x\ln a={{e}^{t}}$.
Bất phương trình trở thành: ${{e}^{t}}+x{{e}^{x}}\le {{e}^{x}}\left( 1+t \right)\Leftrightarrow g\left( t \right)={{e}^{t}}-{{e}^{x}}.t+x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}\le 0$ $\left( * \right)$
Có $g\left( t \right)={{e}^{t}}-{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow t=x$.
Bảng biến thiên:
Vậy $\left( * \right)\Leftrightarrow t=x\Leftrightarrow \ln a=\dfrac{{{e}^{x}}}{x}=h\left( x \right)$ có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{{{e}^{x}}.x-{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}=0\Rightarrow x=1$.
Bảng biến thiên:
Vậy $\ln a\ge e\Leftrightarrow x\ge {{e}^{e}}\approx 15,15\Rightarrow a\in \left\{ 16,...,2021 \right\}$.