Có bao nhiêu số nguyên dương ${{a}^{{}}}(a\le 2024)$ sao cho tồn...

Điều kiện: Vì $a$ nguyên dương nên $3x\ln a>0\Rightarrow x>0.$ ta có
$x.\left( \ln {{a}^{3}}+{{e}^{x}} \right)\le {{e}^{x}}\left[ 1+\ln \left( 3x\ln a \right) \right]\Leftrightarrow 3x\ln a\le {{e}^{x}}\left( 1+\ln \left( 3x\ln a \right)-x \right)\Leftrightarrow \dfrac{3x.\ln a}{{{e}^{x}}}\le 1+\ln \dfrac{3x\ln a}{{{e}^{x}}}$
Đặt: $t=\dfrac{3x.\ln a}{{{e}^{x}}}>0.$
Bất phương trình có dạng: $t\le 1+\ln t\Leftrightarrow t-\ln t-1\le 0$.
Đặt: $f(t)=t-\ln t-1\le 0$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$
$f'(t)=1-\dfrac{1}{t}=0\Rightarrow t=1$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra $t=1\Leftrightarrow 3x\ln a={{e}^{x}}$
Do: $a\ge 1\Rightarrow $ phương trình có nghiệm thì $x>0$
$\Leftrightarrow 3.\ln a=\dfrac{{{e}^{x}}}{x}$. Xét hàm số $g(x)=\dfrac{{{e}^{x}}}{x}\Rightarrow g'(x)=\dfrac{{{e}^{x}}x-{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}},g'(x)=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên
Phương trình có nghiệm
$\Leftrightarrow 3\ln a\ge e\Leftrightarrow \ln a\ge \dfrac{e}{3}\Leftrightarrow a\ge {{e}^{\dfrac{e}{3}}}\Leftrightarrow a\ge 2,47\Rightarrow a\in \left\{ 3;4;5;.....;2024 \right\}$ vì ${{a}^{{}}}(a\le 2024)$ nguyên dương. Vậy có 2022 giá trị.