Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất bốn số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ thỏa mãn ${{5}^{{{a}^{2}}+b}}\le {{4}^{b-a}}+26$ ?
A. $7$.
B. $6$.
C. $4$.
D. $5$.
A. $7$.
B. $6$.
C. $4$.
D. $5$.
${{5}^{{{a}^{2}}+b}}\le {{4}^{b-a}}+26\Leftrightarrow {{5}^{{{a}^{2}}+b}}-{{4}^{b-a}}-26\le 0\Leftrightarrow {{5}^{{{a}^{2}}}}-\dfrac{1}{{{4}^{a}}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}-26.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}\le 0$
Xét $f\left( b \right)={{5}^{{{a}^{2}}}}-\dfrac{1}{{{4}^{a}}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}-26.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}, b\in \left( -10;10 \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( b \right)=-\dfrac{1}{{{4}^{a}}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}.\ln \dfrac{4}{5}-26.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}.\ln \dfrac{1}{5}>0$
Suy ra, $f\left( b \right)$ đồng biến với $b\in \left( -10;10 \right)$
Để $f\left( b \right)\le 0$ có ít nhất bốn nghiệm nguyên thì $f\left( -6 \right)\le 0\Leftrightarrow {{5}^{{{a}^{2}}-6}}-{{4}^{-a-6}}-26\le 0$
$\Rightarrow {{5}^{{{a}^{2}}-6}}\le 26\Leftrightarrow -2,83...\le a\le 2,83...$
Vì $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$.
Xét $f\left( b \right)={{5}^{{{a}^{2}}}}-\dfrac{1}{{{4}^{a}}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}-26.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}, b\in \left( -10;10 \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( b \right)=-\dfrac{1}{{{4}^{a}}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{b}}.\ln \dfrac{4}{5}-26.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}.\ln \dfrac{1}{5}>0$
Suy ra, $f\left( b \right)$ đồng biến với $b\in \left( -10;10 \right)$
Để $f\left( b \right)\le 0$ có ít nhất bốn nghiệm nguyên thì $f\left( -6 \right)\le 0\Leftrightarrow {{5}^{{{a}^{2}}-6}}-{{4}^{-a-6}}-26\le 0$
$\Rightarrow {{5}^{{{a}^{2}}-6}}\le 26\Leftrightarrow -2,83...\le a\le 2,83...$
Vì $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$.
Đáp án D.