Có bao nhiêu số nguyên $a$ $\left( a>3 \right)$ để phương trình...

Xét $\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)$ (1)
+ Với $x>81$, suy ra ${{\log }_{3}}x>4 \Rightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3>0 \\
& {{\log }_{3}}x-3>0 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Ta có (1) $\Leftrightarrow \log a.{{\log }_{a}}\left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{3}}x-3$.
+ Đặt $y={{\log }_{3}}x\Rightarrow y>4$.
Đặt $m=\log a>0$. Ta có phương trình ${{\left( {{y}^{m}}+3 \right)}^{m}}=m-3$ (2).
+ Đặt $t={{y}^{m}}+3>0$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}^{m}}=y-3 \\
& t={{y}^{m}}+3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{y}^{m}}+y={{t}^{m}}+t$ (3).
+ Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{m}}+t$ với $m>0, t>0$ có $f\left( t \right)=m.{{t}^{m-1}}+1>0, \forall t>0$.
Suy ra $f\left( t \right)={{t}^{m}}+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ;+ \infty \right)$.
+ Do đó (3) $\Leftrightarrow y=t\Leftrightarrow y={{y}^{m}}+3\Leftrightarrow {{y}^{m}}=y-3\Leftrightarrow m.\log y=\log \left( y-3 \right)$ $\Leftrightarrow m=\dfrac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}$
Với $y>4$ ta được: $0<\dfrac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}<1$.
Do đó: $0<m=\log a<1$ $\Leftrightarrow 1<a<10$.
Do $a$ nguyên và $a>3$ nên $a\in \left\{ 4 ;5 ;6 ;7;8 ;9 \right\}$.