Có bao nhiêu số nguyên $a\in \left( -2019;2019 \right)$ để phương...

Phương trình $\dfrac{1}{\ln \left( x+5 \right)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-1}=x+a\Leftrightarrow \dfrac{1}{\ln \left( x+5 \right)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-1}-x=a$
Đặt hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\ln (x+5)}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}-1}-x$ có tập xác định $D=\left( -5;-4 \right)\cup \left( -4;0 \right)\cup \left( 0;\infty \right)$
Ta có : $f'(x)=\dfrac{-1}{\left( x+5 \right){{\ln }^{2}}\left( x+5 \right)}-\dfrac{{{3}^{x}}\ln 3}{{{\left( {{3}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-1<0$
$\Rightarrow $ $f(x)$ nghịch biến trên các khoảng của tập xác định
Các giới hạn: $\underset{x\to -{{5}^{+}}}{\mathop{\lim }} f(x)=\dfrac{1}{{{3}^{-5}}-1}+5=5-\dfrac{243}{242}$ ; $\underset{x\to -{{4}^{-}}}{\mathop{\lim }} f(x)=-\infty ;\underset{x\to -{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }} f(x)=+\infty $
$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f(x)=-\infty ;\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f(x)=+\infty $ ; $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f(x)=-\infty $
Bảng biến thiên
Phương trình $f(x)=a$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $a\ge 5-\dfrac{243}{242}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& a\in \mathbb{Z} \\
& a\in \left( -2019;2019 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\in \mathbb{Z} \\
& a\in \left[ 4;2018 \right] \\
\end{aligned} \right. $. Vậy có $ 2018-4+1=2015 $ giá trị của $ a$.