Có bao nhiêu số nguyên $a\in (-10;10)$ sao cho ứng...

Điều kiện xác định: $a,b\ne 0$. Đặt $u={\displaystyle \frac{a}{b}},v={\displaystyle \frac{b}{a}}\Rightarrow u.v=1$.
Từ giả thiết $\Rightarrow 2^{u+v}+u+uv<u{.2}^v+(v+1){.2}^u\iff 2^u.(2^v-v-1)-u(2^v-v-1)<0$
$\iff (2^u-u)(2^v-1-v)<0$ (*)
Ta chứng minh $2^u-u>0,\mathrm{\forall }u$. Thật vậy, xét hàm số $f(u)=2^u-u\Rightarrow f^{\prime }(u)=2^u.\ln 2-1.$
Đạo hàm: $f^{\prime }(u)=0\iff 2^u={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}\iff u={\log }_2\left({\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}\right)$.
Bảng biến thiên $f(u)$ :
Vì ${\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}-{\log }_2\left({\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}\right)>0$ $\Rightarrow f(u)>0,\mathrm{\forall }u$. Do đó (*) $\iff 2^v-1-v<0\iff 2^v-v<1$.
Từ bảng biến thiên ở trên, ta thấy $f(v)=1$ có nhiều nhất là 2 nghiệm. Dễ thấy $v=0,v=1$ là hai nghiệm thỏa mãn $2^v-v=1$ $\Rightarrow 2^v-v<1\iff 0<v<1\Rightarrow 0<{\displaystyle \frac{b}{a}}<1$.
Nếu $a>0$ thì $0<{\displaystyle \frac{b}{a}}<1\iff 0<b<a$. Tồn tại ít nhất 5 số nguyên $b$ khi $a>5$.
Nếu $a<0$ thì $0<{\displaystyle \frac{b}{a}}<1\iff a<b<0$. Tồn tại ít nhất 5 số nguyên $b$ khi $a<-5$.
Kết hợp điều kiện $a\in (-10;10)\Rightarrow a\in \{6;7;8;9;-6;-7;-8;-9\}$.