Có bao nhiêu số nguyên $a \in[-30 ; 30]$ sao cho ứng với mỗi $a$...

TH1: Nếu $a \geq 0 \Rightarrow V P \leq 0 ; V T>0 \Rightarrow S_x=\varnothing$ không chứa số nguyên nào nên thoả mãn (nhiều em sẽ bỏ qua trường hợp này)
TH2: Nếu $a<0$ điều kiện của bất phương trình là $\left\{\begin{array}{c}x>-1 \\ x>-a-1\end{array} \Leftrightarrow x>-a-1\right.$.
Bất phương trình tương đương với: $g(x)=4^{x-13}+4^{x+a-13}-\log _3(1+x)+\log _3(x+a+1) \leq 0$.
Ta có $g^{\prime}(x)=4^{x-13} \ln 4+4^{x+a-13} \ln 4-\dfrac{1}{(x+1) \ln 3}+\dfrac{1}{(x+a+1) \ln 3}$
$=4^{x-13} \ln 4+4^{x+a-13} \ln 4-\dfrac{1}{\ln 3} \cdot \dfrac{a}{(x+1)(x+a+1)}>0, \forall a<0, \forall x>-a-1$.
Bảng biến thiên:
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S_x=\left(-1-a ; x_0\right.$ ] chứa tối đa 5 số nguyên là số
$\begin{aligned}
& -a;-a+1;-a+2;-a+3;-a+4\Leftrightarrow {{x}_{0}}<-a+5\Leftrightarrow g(-a+5)>0 \\
& \Leftrightarrow {{4}^{-a-8}}+{{4}^{-8}}-{{\log }_{3}}(-a+6)+{{\log }_{3}}6>0\Rightarrow a\in \{-30,\ldots ,-8\}. \\
\end{aligned}$
Vậy $a\in \{-30,\ldots ,-8,0,\ldots ,30\}$