Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $\left( -9;9 \right)$ của tham số $m$ để bất phương trình $3\log x\le 2\log \left( m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \right)$ có nghiệm thực.
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
BPT đã cho tương ứng với: $\left\{ \begin{aligned}
& 0<x<1 \\
& x\sqrt{x}\le m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $x\sqrt{x}\le m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}\le m$ (*)
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}\left( 0<x<1 \right)$
$f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}=\dfrac{1-\left( 1-x \right)}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}-\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}.$
$f\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}}+\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{2{{\left( \sqrt{x} \right)}^{3}}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)\left[ {{\left( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{2}}+1 \right]$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}.$
Bảng biến thiên
Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy $\left( * \right)\Leftrightarrow m\ge \sqrt{2}$.
Vậy có 8 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề.
& 0<x<1 \\
& x\sqrt{x}\le m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $x\sqrt{x}\le m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}\le m$ (*)
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}\left( 0<x<1 \right)$
$f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}=\dfrac{1-\left( 1-x \right)}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}-\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}.$
$f\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}}+\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{2{{\left( \sqrt{x} \right)}^{3}}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)\left[ {{\left( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{2}}+1 \right]$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}.$
Bảng biến thiên
Vậy có 8 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề.
Đáp án C.