Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình ${{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}=(m-1)({{2}^{2+x}}+{{2}^{2-x}})+16-8m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 2;3 \right]$ ?
A. 5
B. 2
C. 3
D. 4
A. 5
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có: ${{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}=(m-1)({{2}^{2+x}}+{{2}^{2-x}})+16-8m$
$\Leftrightarrow {{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}=2(m-1)({{2}^{1+x}}+{{2}^{1-x}})+16-8m$
Đặt $t={{2}^{x+1}}+{{2}^{1-x}}\Rightarrow {{t}^{2}}={{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}+8$ khi đó ta được phương trình
${{t}^{2}}-8=2(m-1)t+16-8m\Leftrightarrow {{t}^{2}}-16=2(m-1)(t-4)$.
Vì $x\in \left[ 2;3 \right]$ nên $t={{2}^{x+1}}+{{2}^{1-x}}\in \left[ \dfrac{17}{2};\dfrac{65}{4} \right]$.
Do vậy ${{t}^{2}}-16=2(m-1)(t-4)\Leftrightarrow t+4=2(m-1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}t+3=m$.
Phương trình $\dfrac{1}{2}t+3=m$ có nghiệm thuộc $\left[ \dfrac{17}{2};\dfrac{65}{4} \right]$ khi và chỉ khi
$\dfrac{1}{2}.\dfrac{17}{2}+3\le m\le \dfrac{1}{2}.\dfrac{65}{4}+3\Leftrightarrow \dfrac{29}{4}\le m\le \dfrac{89}{8}$, mà m nguyên nên có tất cả bốn giá trị m thỏa mãn đó là $m=8;m=9;m=10;m=11$.
$\Leftrightarrow {{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}=2(m-1)({{2}^{1+x}}+{{2}^{1-x}})+16-8m$
Đặt $t={{2}^{x+1}}+{{2}^{1-x}}\Rightarrow {{t}^{2}}={{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}+8$ khi đó ta được phương trình
${{t}^{2}}-8=2(m-1)t+16-8m\Leftrightarrow {{t}^{2}}-16=2(m-1)(t-4)$.
Vì $x\in \left[ 2;3 \right]$ nên $t={{2}^{x+1}}+{{2}^{1-x}}\in \left[ \dfrac{17}{2};\dfrac{65}{4} \right]$.
Do vậy ${{t}^{2}}-16=2(m-1)(t-4)\Leftrightarrow t+4=2(m-1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}t+3=m$.
Phương trình $\dfrac{1}{2}t+3=m$ có nghiệm thuộc $\left[ \dfrac{17}{2};\dfrac{65}{4} \right]$ khi và chỉ khi
$\dfrac{1}{2}.\dfrac{17}{2}+3\le m\le \dfrac{1}{2}.\dfrac{65}{4}+3\Leftrightarrow \dfrac{29}{4}\le m\le \dfrac{89}{8}$, mà m nguyên nên có tất cả bốn giá trị m thỏa mãn đó là $m=8;m=9;m=10;m=11$.
Đáp án D.