Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để phương trình ${{\left( 8{{\sin }^{3}}x-m \right)}^{3}}=162\sin x+27m$ có nghiệm thỏa mãn $0<x<\dfrac{\pi }{3}$ ?
A. 2.
B. 3.
C. Vô số.
D. 1.
A. 2.
B. 3.
C. Vô số.
D. 1.
Đặt $t=2\sin x,$ với $0<x<\dfrac{\pi }{3}$ thì $t\in \left( 0;\sqrt{3} \right).$
Phương trình đã cho trở thành ${{\left( {{t}^{3}}-m \right)}^{3}}=81t+27m.$
Đặt $u={{t}^{3}}-m\Rightarrow {{t}^{3}}=u+m.$ Khi đó ta được
$\left\{ \begin{aligned}
& {{u}^{3}}=27\left( 3t+m \right) \\
& {{\left( 3t \right)}^{3}}=27\left( u+m \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{u}^{3}}-{{\left( 3t \right)}^{3}}=27\left( 3t-u \right)\Leftrightarrow {{u}^{3}}+27u={{\left( 3t \right)}^{3}}+27.3t$ (*)
Xét hàm số $f\left( v \right)={{v}^{3}}+27v.$ Ta có ${f}'\left( v \right)=3{{v}^{2}}+27>0,\forall t$
Suy ra $f\left( v \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow u=3t\Rightarrow {{t}^{3}}-3t=m$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}-3t$ trên khoảng $\left( 0;\sqrt{3} \right).$
Ta có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3;{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$ (vì $t>0$ ).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) có nghiệm khi $-2\le m<0.$
Vậy có hai giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Phương trình đã cho trở thành ${{\left( {{t}^{3}}-m \right)}^{3}}=81t+27m.$
Đặt $u={{t}^{3}}-m\Rightarrow {{t}^{3}}=u+m.$ Khi đó ta được
$\left\{ \begin{aligned}
& {{u}^{3}}=27\left( 3t+m \right) \\
& {{\left( 3t \right)}^{3}}=27\left( u+m \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{u}^{3}}-{{\left( 3t \right)}^{3}}=27\left( 3t-u \right)\Leftrightarrow {{u}^{3}}+27u={{\left( 3t \right)}^{3}}+27.3t$ (*)
Xét hàm số $f\left( v \right)={{v}^{3}}+27v.$ Ta có ${f}'\left( v \right)=3{{v}^{2}}+27>0,\forall t$
Suy ra $f\left( v \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow u=3t\Rightarrow {{t}^{3}}-3t=m$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}-3t$ trên khoảng $\left( 0;\sqrt{3} \right).$
Ta có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3;{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$ (vì $t>0$ ).
Bảng biến thiên
Vậy có hai giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.