Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực x,y thỏa mãn đồng thời ${{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y$ và $\log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0?$
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 6.
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 6.
Ta có ${{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=\left( x+3y-9 \right)-\left( 3x+5y-10 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}+\left( 3x+5y-10 \right)={{e}^{x+3y-9}}+\left( x+3y-9 \right) \\
& \Leftrightarrow f\left( 3x+5y-10 \right)=f\left( x+3y-9 \right)\left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Với $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t.$ Vì ${f}'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0\forall t\in \mathbb{R}$ nên $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3x+5y-10=x+3y-9\Leftrightarrow 2y=1-2x.$
Thay vào điều kiện còn lại trong đề bài ta được phương trình
$\log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\left( 2 \right)$
Bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm x, điều này xảy ra khi
$\Delta =3{{m}^{2}}+12m\ge 0\Leftrightarrow 0\le m\le 4\Rightarrow m=1,m=2,m=3,m=4$ (vì m là số nguyên dương).
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}+\left( 3x+5y-10 \right)={{e}^{x+3y-9}}+\left( x+3y-9 \right) \\
& \Leftrightarrow f\left( 3x+5y-10 \right)=f\left( x+3y-9 \right)\left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Với $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t.$ Vì ${f}'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0\forall t\in \mathbb{R}$ nên $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3x+5y-10=x+3y-9\Leftrightarrow 2y=1-2x.$
Thay vào điều kiện còn lại trong đề bài ta được phương trình
$\log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\left( 2 \right)$
Bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm x, điều này xảy ra khi
$\Delta =3{{m}^{2}}+12m\ge 0\Leftrightarrow 0\le m\le 4\Rightarrow m=1,m=2,m=3,m=4$ (vì m là số nguyên dương).
Đáp án C.