Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình ${{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+\left( m-2 \right){{9}^{x}}=0$ có nghiệm dương?
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Ta có: ${{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+\left( m-2 \right){{9}^{x}}=0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{2x}}-2.{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}}+m-2=0$ (1).
Đặt: $t={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}}>0.$ Phương trình (1) $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=2-m$ (2). Phương trình (1) có nghiệm dương $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t>1$. Số nghiệm phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t,t\in \left( 1;+\infty \right)$ và đường thẳng $d:y=2-m.$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t,t\in \left( 1;+\infty \right),{f}'\left( t \right)=2\left( t-1 \right)>0,\forall t\in \left( 1;+\infty \right).$
Suy ra, hàm số $f$ luôn đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 2-m>-1\Leftrightarrow m<3.$ Vậy có 2 giá trị $m$ dương thỏa mãn là $m\in \left\{ 1;2 \right\}.$
Đặt: $t={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}}>0.$ Phương trình (1) $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=2-m$ (2). Phương trình (1) có nghiệm dương $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t>1$. Số nghiệm phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t,t\in \left( 1;+\infty \right)$ và đường thẳng $d:y=2-m.$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t,t\in \left( 1;+\infty \right),{f}'\left( t \right)=2\left( t-1 \right)>0,\forall t\in \left( 1;+\infty \right).$
Suy ra, hàm số $f$ luôn đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Bảng biến thiên:
Đáp án B.