Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình...

Điều kiện
$\left\{ \begin{aligned}
& x+2>0 \\
& \begin{array}{*{35}{l}}
2{{x}^{2}}+mx+1>0 \\
\end{array} \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình ban đầu tương đương
$\begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( \dfrac{\sqrt{2{{x}^{2}}+mx+1}}{x+2} \right)+\sqrt{2{{x}^{2}}+mx+1}=x+2 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{2{{x}^{2}}+mx+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}+mx+1}={{\log }_{2}}\left( x+2 \right)+x+2 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow f\left( \sqrt{2{{x}^{2}}+mx+1} \right)=f\left( x+2 \right)\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên (1) $\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+mx+1}=x+2$
Từ đó $\left\{ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& 2{{x}^{2}}+mx+1={{\left( x+2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& {{x}^{2}}+\left( m-4 \right)x-3=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiêm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ lớn $-2$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\Delta ={{\left( m-4 \right)}^{2}}+12>0 \\
\left( {{x}_{1}}+2 \right)+\left( {{x}_{2}}+2 \right)>0 \\
\left( {{x}_{1}}+2 \right).\left( {{x}_{2}}+2 \right)>0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{R} \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+4=0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{R} \\
& 4-m+4>0 \\
& -3+2\left( 4-m \right)+4>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<8 \\
& m<\dfrac{9}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<\dfrac{9}{2} $ mà $ m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$