Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình ${{9}^{x}}-{{4.6}^{x}}+\left( m-1 \right){{.4}^{x}}\le 0$ có nghiệm?
A. $5$.
B. $6$.
C. $4$.
D. Vô số.
A. $5$.
B. $6$.
C. $4$.
D. Vô số.
Ta có: ${{9}^{x}}-{{4.6}^{x}}+\left( m-1 \right){{.4}^{x}}\le 0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2x}}-4.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}+m-1\le 0$
$\Leftrightarrow m\le -{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2x}}+4.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}+1$.(*)
Đặt $t={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}},t>0$. Bất phương trình (*) trở thành: $m\le -{{t}^{2}}+4t+1,t\in \left( 0 ;+\infty \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+4t+1 ,t\in \left( 0 ;+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=-2t+4 , {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2.$ (nhận)
Bảng biến thiên
Bất phương trình ${{9}^{x}}-{{4.6}^{x}}+\left( m-1 \right){{.4}^{x}}\le 0$ có nghiệm $\Leftrightarrow $ $m\le -{{t}^{2}}+4t+1$ có nghiệm $t\in \left( 0 ;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le 5$.
Mà $m$ nguyên dương $\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$.
$\Leftrightarrow m\le -{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2x}}+4.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}+1$.(*)
Đặt $t={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}},t>0$. Bất phương trình (*) trở thành: $m\le -{{t}^{2}}+4t+1,t\in \left( 0 ;+\infty \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+4t+1 ,t\in \left( 0 ;+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=-2t+4 , {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2.$ (nhận)
Bảng biến thiên
Bất phương trình ${{9}^{x}}-{{4.6}^{x}}+\left( m-1 \right){{.4}^{x}}\le 0$ có nghiệm $\Leftrightarrow $ $m\le -{{t}^{2}}+4t+1$ có nghiệm $t\in \left( 0 ;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le 5$.
Mà $m$ nguyên dương $\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$.
Đáp án A.