Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với $\left| m \right|<10$ ) để phương trình ${{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m$ có nghiệm
A. 4.
B. 5.
C. 9.
D. 10.
A. 4.
B. 5.
C. 9.
D. 10.
Ta có: ${{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{2}^{x}}={{\log }_{{{2}^{2}}}}\left( x+2m \right)+m\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+2m$
Đặt $y={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)$ suy ra ${{2}^{y}}=x+2m$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}=y+2m \\
& {{2}^{y}}=x+2m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{2}^{x}}+x+2m={{2}^{y}}+y+2m $ (cộng chéo) $ \Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{y}}+y$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$ suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra (*) $\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y\Rightarrow {{2}^{x}}-x=2m$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{2}^{x}}-x$ với $x\in \mathbb{R}$ ta có: ${g}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-1=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\dfrac{1}{\ln 2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\dfrac{1}{\ln 2}$.
Ta có bảng biến thiên:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge g\left( {{\log }_{2}}\dfrac{1}{\ln 2} \right)\approx 0,91$.
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& \left| m \right|<10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$.
Đặt $y={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)$ suy ra ${{2}^{y}}=x+2m$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}=y+2m \\
& {{2}^{y}}=x+2m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{2}^{x}}+x+2m={{2}^{y}}+y+2m $ (cộng chéo) $ \Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{y}}+y$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$ suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra (*) $\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y\Rightarrow {{2}^{x}}-x=2m$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{2}^{x}}-x$ với $x\in \mathbb{R}$ ta có: ${g}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-1=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\dfrac{1}{\ln 2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\dfrac{1}{\ln 2}$.
Ta có bảng biến thiên:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge g\left( {{\log }_{2}}\dfrac{1}{\ln 2} \right)\approx 0,91$.
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& \left| m \right|<10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$.
Đáp án C.