Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( -2000;2000 \right)$ để $4{{a}^{\sqrt{{{\log }_{a}}b}}}-{{b}^{\sqrt{{{\log }_{b}}a}}}>m\sqrt{{{\log }_{a}}b}+3$ với mọi $a,b\in \left( 1;+\infty \right)$
A. $2199$.
B. $2000$.
C. $2001$.
D. $1999$.
A. $2199$.
B. $2000$.
C. $2001$.
D. $1999$.
Đặt $\sqrt{{{\log }_{a}}b}=t>0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{\log }_{b}}a}=\dfrac{1}{t} \\
& b={{a}^{\dfrac{1}{{{t}^{2}}}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Bất phương trình đã cho trở thành
$4{{a}^{t}}-{{\left( {{a}^{{{t}^{2}}}} \right)}^{\dfrac{1}{t}}}>ma+3$ với $\forall t>0$
$\Leftrightarrow 4{{a}^{t}}-{{a}^{t}}>ma+3\Leftrightarrow 3{{a}^{t}}>mt+3$ với $\forall t>0$.
Do vậy đồ thị hàm số $y=3{{a}^{t}}$ luôn nằm trên đường thẳng $y=mt+3$ với $\forall t>0$.
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra $m\le 0$
Suy ra $m\in \left\{ -1999;0 \right\}$ vậy có 2000 giá trị thỏa mãn
& \sqrt{{{\log }_{b}}a}=\dfrac{1}{t} \\
& b={{a}^{\dfrac{1}{{{t}^{2}}}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Bất phương trình đã cho trở thành
$4{{a}^{t}}-{{\left( {{a}^{{{t}^{2}}}} \right)}^{\dfrac{1}{t}}}>ma+3$ với $\forall t>0$
$\Leftrightarrow 4{{a}^{t}}-{{a}^{t}}>ma+3\Leftrightarrow 3{{a}^{t}}>mt+3$ với $\forall t>0$.
Do vậy đồ thị hàm số $y=3{{a}^{t}}$ luôn nằm trên đường thẳng $y=mt+3$ với $\forall t>0$.
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra $m\le 0$
Suy ra $m\in \left\{ -1999;0 \right\}$ vậy có 2000 giá trị thỏa mãn
Đáp án B.