Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0; 2018] để...

$\sqrt{xy}+y+1=0\Leftrightarrow \sqrt{xy}=1-y\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& xy={{\left( 1-y \right)}^{2}} \\
& y\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& xy=1-2y+{{y}^{2}} \\
& y\le 1 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Nếu $y=0,$ hiển nhiên không thỏa mãn hệ:

Nếu $y\ne 0,$ $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{2}-2+y \\
& y\le 1 \\
\end{aligned} \right.$
Thế vào $x-y+m=0,$ ta có $\dfrac{1}{y}-2+y-y+m=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{y}=2-m\left( 2 \right)$
Đê hệ có nghiệm thì (2) có nghiệm $y\in \left( -\infty ;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}.$ Xét hàm $f\left( y \right)=\dfrac{1}{y}$ có $f'\left( y \right)=-\dfrac{1}{{{y}^{2}}}<0$ với mọi $y\in \left( -\infty ;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$ nên ta có bảng biến thiên hàm $f\left( y \right)$ như sau:

Dựa vào BBT, ta thấy (2) có nghiệm $y\in \left( -\infty ;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$ khi và chỉ khi $\left[ \begin{aligned}
& 2-m<0 \\
& 2-m\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m\le 1 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ và m $m\in \left[ 0;2018 \right]$ nên $m\in \left\{ 0;1;3;4;5;6;...;2018 \right\}.$
Chú ý:
$\sqrt{f\left( x \right)}=g\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=g{{\left( x \right)}^{2}} \\
& g\left( x \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$