Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -2023;2023 \right)$ để hàm số $y=\left| {{8}^{x}}-3\left( m+2 \right){{4}^{x}}+3m\left( m+4 \right){{2}^{x}} \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$ ?
A. $2022$.
B. $2020$.
C. $4039$.
D. $4037$.
A. $2022$.
B. $2020$.
C. $4039$.
D. $4037$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{8}^{x}}-3\left( m+2 \right){{4}^{x}}+3m\left( m+4 \right){{2}^{x}}$.
Đặt $t={{2}^{x}}$. Với $x\in \left( -\infty ;2 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;4 \right)$.
$\Rightarrow f\left( t \right)={{t}^{3}}-3\left( m+2 \right){{t}^{2}}+3m\left( m+4 \right)t$.
$\Rightarrow f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6\left( m+2 \right)t+3m\left( m+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=m \\
& t=m+4 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
TH 1: $0<4\le m<m+4$.
Hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ khi:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)\ge 0 \\
& f'\left( t \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\forall t\in \left( 0;4 \right) $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)\ge 0\forall t\in \left( 0;4 \right) \\
& m\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\left( m+4 \right)\ge 0 \\
& m\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge 4$.
TH 2: $m\le 0<4<m+4$.
Hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ khi:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)\le 0 \\
& f'\left( t \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\forall t\in \left( 0;4 \right) $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)\le 0\forall t\in \left( 0;4 \right) \\
& 0\le m\le m+4\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\left( m+4 \right)\le 0 \\
& 0\le m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=0$.
TH 3: $m+4\le 0$.
Hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ khi:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)\ge 0 \\
& f'\left( t \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\forall t\in \left( 0;4 \right) $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)\ge 0\forall t\in \left( 0;4 \right) \\
& m+4\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\left( m+4 \right)\le 0 \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -4$.
Từ 3 trường hợp $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -4 \\
& m=0 \\
& m\ge 4 \\
\end{aligned} \right. $ và $ m\in \left( -2023;2023 \right)$nên có 4039 giá trị nguyên của m.
Đặt $t={{2}^{x}}$. Với $x\in \left( -\infty ;2 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;4 \right)$.
$\Rightarrow f\left( t \right)={{t}^{3}}-3\left( m+2 \right){{t}^{2}}+3m\left( m+4 \right)t$.
$\Rightarrow f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6\left( m+2 \right)t+3m\left( m+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=m \\
& t=m+4 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ khi:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)\ge 0 \\
& f'\left( t \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\forall t\in \left( 0;4 \right) $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)\ge 0\forall t\in \left( 0;4 \right) \\
& m\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\left( m+4 \right)\ge 0 \\
& m\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge 4$.
TH 2: $m\le 0<4<m+4$.
Hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ khi:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)\le 0 \\
& f'\left( t \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\forall t\in \left( 0;4 \right) $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)\le 0\forall t\in \left( 0;4 \right) \\
& 0\le m\le m+4\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\left( m+4 \right)\le 0 \\
& 0\le m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=0$.
TH 3: $m+4\le 0$.
Hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ khi:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)\ge 0 \\
& f'\left( t \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\forall t\in \left( 0;4 \right) $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)\ge 0\forall t\in \left( 0;4 \right) \\
& m+4\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\left( m+4 \right)\le 0 \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -4$.
Từ 3 trường hợp $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -4 \\
& m=0 \\
& m\ge 4 \\
\end{aligned} \right. $ và $ m\in \left( -2023;2023 \right)$nên có 4039 giá trị nguyên của m.
Đáp án C.