Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -2022;2022...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+\left( 2m+1 \right)x-2$
${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2m+1$
Hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ đồng biến trên $\left( 1;3 \right)$ khi và chỉ khi xảy ra 2 trường hợp sau:
TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 1;3 \right)$ và $f\left( 1 \right)\ge 0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\ge 0\text{ }\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& f\left( 1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+2m+1\ge 0\text{ }\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& 2m\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m+1\ge -3{{x}^{2}}\text{ }\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m+1\ge -3 \\
& m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge 0. \\
\end{aligned}$
TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 1;3 \right)$ và $f\left( 1 \right)\le 0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\le 0\text{ }\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& f\left( 1 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+2m+1\le 0\text{ }\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& 2m\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m+1\le -3{{x}^{2}}\text{ }\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m+1\le -27 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -14. \\
\end{aligned}$
Kết hợp 2 trường hợp ta có $m\le -14$ hoặc $m\ge 0$.
Mà $m\in \left( -2022;2022 \right)$ nên có 4030 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.