Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ để phương trình ${{2019}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{mx-2m-1}{x-2}=0.$ Có đúng 3 nghiệm phân biệt.
A. $4038.$
B. $2019.$
C. $2017.$
D. $4039.$
A. $4038.$
B. $2019.$
C. $2017.$
D. $4039.$
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;2 \right\}$.
Ta có: ${{2019}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{mx-2m-1}{x-2}=0\Leftrightarrow {{2019}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{m\left( x-2 \right)-1}{x-2}=0$
$\Leftrightarrow $ ${{2019}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}-\dfrac{1}{x-2}=-m.\left( * \right)$
Đặt $f\left( x \right)={{2019}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}-\dfrac{1}{x-2}$. Khi đó
${f}'\left( x \right)={{2019}^{x}}\ln 2019+\dfrac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}>0$ $\forall x\in D$.
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình $\left( * \right)$ có $3$ nghiệm thực phân biệt thì $-m>2\Rightarrow m<-2$.
Mà $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên có $2017$ giá trị $m$ thỏa mãn.
Ta có: ${{2019}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{mx-2m-1}{x-2}=0\Leftrightarrow {{2019}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{m\left( x-2 \right)-1}{x-2}=0$
$\Leftrightarrow $ ${{2019}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}-\dfrac{1}{x-2}=-m.\left( * \right)$
Đặt $f\left( x \right)={{2019}^{x}}+\dfrac{2x-1}{x+1}-\dfrac{1}{x-2}$. Khi đó
${f}'\left( x \right)={{2019}^{x}}\ln 2019+\dfrac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}>0$ $\forall x\in D$.
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình $\left( * \right)$ có $3$ nghiệm thực phân biệt thì $-m>2\Rightarrow m<-2$.
Mà $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên có $2017$ giá trị $m$ thỏa mãn.
Đáp án C.