Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -10; 10 \right)$ để hàm số $f\left( x \right)=m{{x}^{4}}+8\left( m-6 \right){{x}^{2}}+4$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 2 \right)$.
A. $12$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $13$.
A. $12$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $13$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=4m{{x}^{3}}+16\left( m-6 \right)x$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 2 \right)$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$
$\Leftrightarrow m{{x}^{3}}+4mx-24x\le 0,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$ $\Leftrightarrow m\left( {{x}^{3}}+4x \right)\le 24x,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{24x}{{{x}^{3}}+4x}=g\left( x \right),\forall x\in \left( 1; 2 \right)$ ; vì ${{x}^{3}}+4x>0,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{24\left( {{x}^{3}}+4x \right)-24x\left( 3{{x}^{2}}+4 \right)}{{{\left( {{x}^{3}}+4x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-48{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{3}}+4x \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$.
$\Rightarrow g\left( x \right)$ luôn nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 2 \right)$.
Khi đó bất phương trình $m\le g\left( x \right),\forall x\in \left( 1; 2 \right)$ $\Leftrightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le 3$.
Vì $m\in \mathbb{Z},m\in \left( -10; 10 \right)$ nên $m\in \left\{ 3; 2; 1; 0; -1; -2;...; -9 \right\}$. Vậy có 13 số nguyên $m$ cần tìm.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 2 \right)$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$
$\Leftrightarrow m{{x}^{3}}+4mx-24x\le 0,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$ $\Leftrightarrow m\left( {{x}^{3}}+4x \right)\le 24x,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{24x}{{{x}^{3}}+4x}=g\left( x \right),\forall x\in \left( 1; 2 \right)$ ; vì ${{x}^{3}}+4x>0,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{24\left( {{x}^{3}}+4x \right)-24x\left( 3{{x}^{2}}+4 \right)}{{{\left( {{x}^{3}}+4x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-48{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{3}}+4x \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \left( 1; 2 \right)$.
$\Rightarrow g\left( x \right)$ luôn nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 2 \right)$.
Khi đó bất phương trình $m\le g\left( x \right),\forall x\in \left( 1; 2 \right)$ $\Leftrightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le 3$.
Vì $m\in \mathbb{Z},m\in \left( -10; 10 \right)$ nên $m\in \left\{ 3; 2; 1; 0; -1; -2;...; -9 \right\}$. Vậy có 13 số nguyên $m$ cần tìm.
Đáp án D.