Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=-{{x}^{3}}+3(m+2){{x}^{2}}-3({{m}^{2}}+4m)x+1$ đồng biến trong khoảng $(0;1)$ ?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
Ta có $y=-{{x}^{3}}+3(m+2){{x}^{2}}-3({{m}^{2}}+4m)x+1$
$\Rightarrow {y}'=-3{{\text{x}}^{2}}+6(m+2)x-3({{m}^{2}}+4m)=-3\left[ {{x}^{2}}-2(m+2)x+m(m+4) \right]$
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=m+4 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu đạo hàm:
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;1)\Leftrightarrow m\le 0<1\le m+4\Leftrightarrow -3\le m\le 0$.
Vì m nguyên nên $m\in \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
$\Rightarrow {y}'=-3{{\text{x}}^{2}}+6(m+2)x-3({{m}^{2}}+4m)=-3\left[ {{x}^{2}}-2(m+2)x+m(m+4) \right]$
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=m+4 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu đạo hàm:
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;1)\Leftrightarrow m\le 0<1\le m+4\Leftrightarrow -3\le m\le 0$.
Vì m nguyên nên $m\in \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
Đáp án D.