Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau đạt cực...

Ta có $y^{\prime }=8x^7+5(m+1)x^4-4(m^2-1)x^3;y^{″}=56x^6+20(m+1)x^3-12(m^2-1)x^2$
$\Rightarrow y=0\iff 8x^7+5(m+1)x^4-4(m^2-1)x^3=0\iff x^3[8x^4+5(m+1)x-4(m^2-1)]=0$
TH1: Xét $m^2-1=0\iff m=\pm 1$
- Khi $m=1$ ta có $y^{\prime }=0\iff x^3(8x^4+10x)=x^4(8x^3+10)\Rightarrow x=0$ là nghiệm bội $4\Rightarrow x=0$ không là cực trị của hàm số.
- Khi $m=-1$ ta có $y^{\prime }=0\iff x^3.8x^4=0\iff 8x^7=0\iff x=0$ là nghiệm bội lẻ $\iff x=0$ là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa qua điểm $x=0$ thì $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
TH2: Xét $m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$ ta có:
$y=0\iff x^2[8x^5+5(m+1)x^2-4(m^2-1)x]=0\iff [\begin{array}{rl}& x^2=0\\ & 8x^5+5(m+1)x^2-4(m^2-1)x=0\end{array}$
$x^2=0\iff x=0$ là nghiệm bội chẵn không là cực trị của hàm số, do đó cực trị của hàm số ban đầu là nghiệm của phương trình $g\left(x\right)=8x^5+5(m+1)x^2-4(m^2-1)x=0$
Hàm số đạt cực tiểu $x=0\iff g^{\prime }\left(0\right)>0$
Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=40x^4+10(m+1)x-4(m^2-1)$
$\Rightarrow g^{\prime }\left(0\right)=-4(m^2-1)>0\iff m^2-1<0\iff -1<m<1$
Vậy kết hợp 2 trường hợp ta có $-1\le m<1.$ Do $m\in Z\Rightarrow m\in \{-1;0\}$
Nếu $x=x_o$ là điểm cực trị của hàm số thì $f^{\prime }\left(x_o\right)=0$
Nếu $x=x_o$ là điểm cực trị của hàm số thì $\{\begin{array}{rl}& f^{\prime }\left(x_o\right)=0\\ & f^{″}\left(x_o\right)\Rightarrow 0\end{array}$