Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số sau đạt cực tiểu tại $x=0 y={{x}^{8}}+\left( m+1 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{4}}+1$
A. Vô số.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
A. Vô số.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
Ta có $y'=8{{x}^{7}}+5\left( m+1 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}; y''=56{{x}^{6}}+20\left( m+1 \right){{x}^{3}}-12\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}$
$\Rightarrow y=0\Leftrightarrow 8{{x}^{7}}+5\left( m+1 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m+1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right) \right]=0$
TH1: Xét ${{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$
- Khi $m=1$ ta có $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 8{{x}^{4}}+10x \right)={{x}^{4}}\left( 8{{x}^{3}}+10 \right)\Rightarrow x=0$ là nghiệm bội $4\Rightarrow x=0$ không là cực trị của hàm số.
- Khi $m=-1$ ta có $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}.8{{x}^{4}}=0\Leftrightarrow 8{{x}^{7}}=0\Leftrightarrow x=0$ là nghiệm bội lẻ $\Leftrightarrow x=0$ là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa qua điểm $x=0$ thì $y'$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
TH2: Xét ${{m}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 1$ ta có:
$y=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left[ 8{{x}^{5}}+5\left( m+1 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0 \\
& 8{{x}^{5}}+5\left( m+1 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)x=0 \\
\end{aligned} \right.$
${{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0$ là nghiệm bội chẵn không là cực trị của hàm số, do đó cực trị của hàm số ban đầu là nghiệm của phương trình $g\left( x \right)=8{{x}^{5}}+5\left( m+1 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)x=0$
Hàm số đạt cực tiểu $x=0\Leftrightarrow g'\left( 0 \right)>0$
Ta có $g'\left( x \right)=40{{x}^{4}}+10\left( m+1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)$
$\Rightarrow g'\left( 0 \right)=-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1<0\Leftrightarrow -1<m<1$
Vậy kết hợp 2 trường hợp ta có $-1\le m<1.$ Do $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -1;0 \right\}$
Nếu $x={{x}_{o}}$ là điểm cực trị của hàm số thì $f'\left( {{x}_{o}} \right)=0$
Nếu $x={{x}_{o}}$ là điểm cực trị của hàm số thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( {{x}_{o}} \right)=0 \\
& f''\left( {{x}_{o}} \right)\Rightarrow 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow y=0\Leftrightarrow 8{{x}^{7}}+5\left( m+1 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m+1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right) \right]=0$
TH1: Xét ${{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$
- Khi $m=1$ ta có $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 8{{x}^{4}}+10x \right)={{x}^{4}}\left( 8{{x}^{3}}+10 \right)\Rightarrow x=0$ là nghiệm bội $4\Rightarrow x=0$ không là cực trị của hàm số.
- Khi $m=-1$ ta có $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}.8{{x}^{4}}=0\Leftrightarrow 8{{x}^{7}}=0\Leftrightarrow x=0$ là nghiệm bội lẻ $\Leftrightarrow x=0$ là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa qua điểm $x=0$ thì $y'$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
TH2: Xét ${{m}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 1$ ta có:
$y=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left[ 8{{x}^{5}}+5\left( m+1 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0 \\
& 8{{x}^{5}}+5\left( m+1 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)x=0 \\
\end{aligned} \right.$
${{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0$ là nghiệm bội chẵn không là cực trị của hàm số, do đó cực trị của hàm số ban đầu là nghiệm của phương trình $g\left( x \right)=8{{x}^{5}}+5\left( m+1 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)x=0$
Hàm số đạt cực tiểu $x=0\Leftrightarrow g'\left( 0 \right)>0$
Ta có $g'\left( x \right)=40{{x}^{4}}+10\left( m+1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)$
$\Rightarrow g'\left( 0 \right)=-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1<0\Leftrightarrow -1<m<1$
Vậy kết hợp 2 trường hợp ta có $-1\le m<1.$ Do $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -1;0 \right\}$
Nếu $x={{x}_{o}}$ là điểm cực trị của hàm số thì $f'\left( {{x}_{o}} \right)=0$
Nếu $x={{x}_{o}}$ là điểm cực trị của hàm số thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( {{x}_{o}} \right)=0 \\
& f''\left( {{x}_{o}} \right)\Rightarrow 0 \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án C.