Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)x+5$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)?$
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. vô số.
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. vô số.
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-{{m}^{2}}+3m-2.$
Để hàm số đồng biến trên $\left( 0;2 \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-{{m}^{2}}+3m-2\ge 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le 3{{x}^{2}}+6x=g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x$ trên $\left[ 0;2 \right]$ ta có
${g}'\left( x \right)=6x+6>0\forall x\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left[ 0;2 \right].$
$\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)\Rightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 2.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-{{m}^{2}}+3m-2.$
Để hàm số đồng biến trên $\left( 0;2 \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x-{{m}^{2}}+3m-2\ge 0\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le 3{{x}^{2}}+6x=g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x$ trên $\left[ 0;2 \right]$ ta có
${g}'\left( x \right)=6x+6>0\forall x\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left[ 0;2 \right].$
$\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)\Rightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 2.$
Đáp án C.