Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của...

Xét hàm số $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-{\displaystyle \frac{19}{2}}{x}^2+30x+m$ liên tục trên đoạn $[0;2]$.
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=x^3-19x+30=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-5\notin [0;2]\\ & x=3\notin [0;2]\\ & x=2\in [0;2]\end{array}.$
Ta lại có: $f\left(0\right)=m;f\left(2\right)=m+26$.
Suy ra $\underset{[0;2]}{max}\left|f\left(x\right)\right|=max\{\left|m\right|;|m+26|\}=M$.
Ta có: $\{\begin{array}{rl}& M\ge \left|m\right|=|-m|\\ & M\ge |m+26|\end{array}\Rightarrow 2M>|-m|+|m+26|\iff M\ge {\displaystyle \frac{|-m|+|m+26|}{2}}\ge {\displaystyle \frac{|-m+m+26|}{2}}=13.$
Dấu "=" xảy ra khi $\{\begin{array}{rl}& \left|m\right|=|m+26|=13\\ & -m(m+26)>0\end{array}\iff m=-13.$
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số $y=|{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-{\displaystyle \frac{19}{2}}{x}^2+30x+m|$ trên đoạn $[0;2]$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 13 khi $m=-13$.
Vậy có 1 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.