Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ thoả mãn hàm số...

Điều kiện $x\ne a$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{x-1}{x-a}$ có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{1-a}{{{\left( x-a \right)}^{2}}},\forall x\ne a$.
+) Với $a=1$ thì hàm số $g\left( x \right)=1,\forall x\ne 1$ (không thoả mãn).
+) Với $a\ne 1$ thì hàm số $g\left( x \right)$ là hàm bậc nhất/bậc nhất nên hàm số sẽ đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;a \right)$ và $\left( a;+\infty \right)$.
Mà $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=1$ nên hàm số $y=\left| \dfrac{x-1}{x-a} \right|=\left| g\left( x \right) \right|$ nghịch biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ khi và chỉ khi hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{x-1}{x-a}$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;a \right)$ ; $\left( a;+\infty \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)\subset \left( a;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-a<0 \\
& a\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1<a\le 2$.
Do $a\in \mathbb{Z}$ nên $a=2$.