Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ 0; 2018 \right]$ để bất phương trình: $m+{{\text{e}}^{\dfrac{x}{2}}}\ge \sqrt[4]{{{\text{e}}^{2x}}+1}$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
A. $2016$.
B. $2017$.
C. $2018$.
D. $2019$.
A. $2016$.
B. $2017$.
C. $2018$.
D. $2019$.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
BPT $\Leftrightarrow m\ge \sqrt[4]{{{e}^{2x}}+1}-{{e}^{\dfrac{x}{2}}}$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Đặt ${{e}^{\dfrac{x}{2}}}=t>0$ $m\ge \sqrt[4]{{{t}^{4}}+1}-t=f\left( t \right)$ đúng với mọi $t>0$ $\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0; +\infty \right)}{\mathop{max}} f\left( t \right)$ $\left( * \right)$
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}-1$ ; ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}-1=0$
$\Leftrightarrow {{t}^{3}}=\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}\Leftrightarrow {{t}^{12}}={{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}\Leftrightarrow {{t}^{4}}={{t}^{4}}+1$ (Vô nghiệm)
Mặt khác, $\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=1$ ; $\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=0$.
Bảng biến thiên:
Vậy $m\ge 1$. Mà $m\in \mathbb{Z}, m\in \left[ 0; 2018 \right]$ nên $m\in \left\{ 1; 2; ...; 2018 \right\}$ $\Rightarrow $ Có 2018 giá trị thỏa mãn.
BPT $\Leftrightarrow m\ge \sqrt[4]{{{e}^{2x}}+1}-{{e}^{\dfrac{x}{2}}}$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Đặt ${{e}^{\dfrac{x}{2}}}=t>0$ $m\ge \sqrt[4]{{{t}^{4}}+1}-t=f\left( t \right)$ đúng với mọi $t>0$ $\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0; +\infty \right)}{\mathop{max}} f\left( t \right)$ $\left( * \right)$
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}-1$ ; ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}-1=0$
$\Leftrightarrow {{t}^{3}}=\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}}\Leftrightarrow {{t}^{12}}={{\left( {{t}^{4}}+1 \right)}^{3}}\Leftrightarrow {{t}^{4}}={{t}^{4}}+1$ (Vô nghiệm)
Mặt khác, $\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=1$ ; $\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=0$.
Bảng biến thiên:
Vậy $m\ge 1$. Mà $m\in \mathbb{Z}, m\in \left[ 0; 2018 \right]$ nên $m\in \left\{ 1; 2; ...; 2018 \right\}$ $\Rightarrow $ Có 2018 giá trị thỏa mãn.
Đáp án C.