Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ${{9.3}^{2\text{x}}}-m(4\sqrt[4]{{{x}^{2}}+2\text{x}+1}+3m+3){{.3}^{x}}+1=0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
A. 1
B. 2
C. Vô số.
D. 3
A. 1
B. 2
C. Vô số.
D. 3
Ta có ${{9.3}^{2\text{x}}}-m(4\sqrt[4]{{{x}^{2}}+2\text{x}+1}+3m+3){{.3}^{x}}+1=0$ $\Leftrightarrow {{3}^{x+1}}+\dfrac{1}{{{3}^{x+1}}}-\dfrac{m}{3}(4\sqrt[{}]{\left| x+1 \right|}+3m+3)=0$ (1)
Đặt $t=x+1$, phương trình (1) thành ${{3}^{t}}+\dfrac{1}{{{3}^{t}}}-\dfrac{m}{3}(4\sqrt[{}]{\left| t \right|}+3m+3)=0$ (2).
Bài toán trở thành tìm số giá trị nguyên của m để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
Nhận xét: Nếu ${{t}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình (2) thì $-{{t}_{0}}$ cũng là một nghiệm của phương trình (2). Do đó điều kiện cần để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là phương trình (2) có nghiệm $t=0$
Với $t=0$ thay vào phương trình (2) ta có. $-{{m}^{2}}+m+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại:
+) Với $\mathrm{m}=-2$ phương trình $(2)$ thành $3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}+\dfrac{2}{3}(\sqrt[4]{|t|}-3)=0$
Ta có $3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}} \geq 2 ; \forall t \in \mathbb{R}$, và $\dfrac{2}{3}(4 \sqrt{|t|}-3) \geq-2, \forall t \in \mathbb{R}$ suy ra $3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}+\dfrac{2}{3}(4 \sqrt{|t|}-3) \geq 0, \forall t \in \mathbb{R} .$ Dấu bằng xảy ra khi $t=0$, hay phương trình $(2)$ có nghiệm duy nhất $t=0$ nên loại $m=-2$.
+) Với $m=1$ phương trình $(2)$ thành $3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}-\dfrac{1}{3}(4 \sqrt{|t|}+6)=0$ (3)
Dễ thấy phương trình (3) có 3 nghiệm $t=-1, t=0, t=1$.
Ta chứng minh phương trình $(3)$ chỉ có 3 nghiệm $t=-1, t=0, t=1$. Vì $t$ là nghiệm thì $-t$ cũng là nghiệm phương trình (3) nên ta chỉ xét phương trình (3) trên [0; + $\infty$ ).
Trên tập $[0 ;+\infty),(3) \Leftrightarrow 3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}-\dfrac{1}{3}(4 \sqrt{t}+6)=0$.
Xét hàm $f(t)=3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}-\dfrac{1}{3}(4 \sqrt{t}+6)$ trên $[0 ;+\infty)$.
Ta có $f^{\prime}(t)=3^{t} \ln 3-3^{-t} \cdot \ln 3-\dfrac{2}{3 \sqrt{t}}, f^{\prime \prime}(t)=3^{t} \ln ^{2} 3+3^{-t} \cdot \ln ^{2} 3+\dfrac{1}{3 \cdot(\sqrt{t})^{3}}>0, \forall t>0$.
Suy ra $f^{\prime}(t)$ đồng biến trên $(0 ;+\infty) \Rightarrow f^{\prime}(t)=0$ có tối đa 1 nghiệm $t>0 \Rightarrow f(t)=0$ có tối đa 2 nghiệm $t \in[0 ;+\infty)$. Suy ra trên $[0 ;+\infty)$, phương trình (3) có 2 nghiệm $t=0, \mathrm{t}=1$.
Do đó trên tập $\mathbb{R}$, phương trình (3) có đúng 3 nghiệm $t=-1, t=0, t=1$. Vậy chọn $m=1$.
Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm này, sau khi loại được $m=-2$ ta có thể kết luận đáp án C do đề không có phương án nào là không tồn tại m.
Đặt $t=x+1$, phương trình (1) thành ${{3}^{t}}+\dfrac{1}{{{3}^{t}}}-\dfrac{m}{3}(4\sqrt[{}]{\left| t \right|}+3m+3)=0$ (2).
Bài toán trở thành tìm số giá trị nguyên của m để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
Nhận xét: Nếu ${{t}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình (2) thì $-{{t}_{0}}$ cũng là một nghiệm của phương trình (2). Do đó điều kiện cần để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là phương trình (2) có nghiệm $t=0$
Với $t=0$ thay vào phương trình (2) ta có. $-{{m}^{2}}+m+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại:
+) Với $\mathrm{m}=-2$ phương trình $(2)$ thành $3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}+\dfrac{2}{3}(\sqrt[4]{|t|}-3)=0$
Ta có $3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}} \geq 2 ; \forall t \in \mathbb{R}$, và $\dfrac{2}{3}(4 \sqrt{|t|}-3) \geq-2, \forall t \in \mathbb{R}$ suy ra $3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}+\dfrac{2}{3}(4 \sqrt{|t|}-3) \geq 0, \forall t \in \mathbb{R} .$ Dấu bằng xảy ra khi $t=0$, hay phương trình $(2)$ có nghiệm duy nhất $t=0$ nên loại $m=-2$.
+) Với $m=1$ phương trình $(2)$ thành $3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}-\dfrac{1}{3}(4 \sqrt{|t|}+6)=0$ (3)
Dễ thấy phương trình (3) có 3 nghiệm $t=-1, t=0, t=1$.
Ta chứng minh phương trình $(3)$ chỉ có 3 nghiệm $t=-1, t=0, t=1$. Vì $t$ là nghiệm thì $-t$ cũng là nghiệm phương trình (3) nên ta chỉ xét phương trình (3) trên [0; + $\infty$ ).
Trên tập $[0 ;+\infty),(3) \Leftrightarrow 3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}-\dfrac{1}{3}(4 \sqrt{t}+6)=0$.
Xét hàm $f(t)=3^{t}+\dfrac{1}{3^{t}}-\dfrac{1}{3}(4 \sqrt{t}+6)$ trên $[0 ;+\infty)$.
Ta có $f^{\prime}(t)=3^{t} \ln 3-3^{-t} \cdot \ln 3-\dfrac{2}{3 \sqrt{t}}, f^{\prime \prime}(t)=3^{t} \ln ^{2} 3+3^{-t} \cdot \ln ^{2} 3+\dfrac{1}{3 \cdot(\sqrt{t})^{3}}>0, \forall t>0$.
Suy ra $f^{\prime}(t)$ đồng biến trên $(0 ;+\infty) \Rightarrow f^{\prime}(t)=0$ có tối đa 1 nghiệm $t>0 \Rightarrow f(t)=0$ có tối đa 2 nghiệm $t \in[0 ;+\infty)$. Suy ra trên $[0 ;+\infty)$, phương trình (3) có 2 nghiệm $t=0, \mathrm{t}=1$.
Do đó trên tập $\mathbb{R}$, phương trình (3) có đúng 3 nghiệm $t=-1, t=0, t=1$. Vậy chọn $m=1$.
Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm này, sau khi loại được $m=-2$ ta có thể kết luận đáp án C do đề không có phương án nào là không tồn tại m.
Đáp án A.