Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\sqrt{\sin...

Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\sqrt{\sin x+2} \\
& v=\sqrt[3]{m-\sin x} \\
\end{aligned} \right.\left( 1\le u\le \sqrt{3} \right) $. Khi đó $ \left\{ \begin{aligned}
& {{u}^{2}}=\sin x+2 \\
& {{v}^{3}}=m-\sin x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{u}^{2}}+{{v}^{3}}=m+2(*)$
Ta lại có $u+v=2\Rightarrow v=2-u$
(*) trở thành ${{u}^{2}}+{{\left( u-2 \right)}^{3}}=m+2\left( 1 \right)\Leftrightarrow m={{u}^{3}}-5{{u}^{2}}+12u-{{10,}_{{}}}\left( 1\le u\le \sqrt{3} \right)$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{u}^{3}}-5{{u}^{2}}+12u-10,u\in \left[ 1;\sqrt{3} \right]$.
Ta có ${f}'\left( u \right)=3{{u}^{2}}-10u+12>0,\forall u\in \left[ 1;\sqrt{3} \right]$
Để phương trình đã cho có nghiệm thì (1) có nghiệm $1\le u\le \sqrt{3}$, khi đó
$f\left( 1 \right)\le m\le f\left( \sqrt{3} \right)\Leftrightarrow -2\le m\le 15\sqrt{3}-25\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}$
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài