Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-m+2 \right|=\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-2 \right|$ có $5$ nghiệm phân biệt?
A. $7$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $5$.
A. $7$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $5$.
Ta có $\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-m+2 \right|=\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-2 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-m+2={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-2 \\
{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-m+2=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+2 \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
2{{x}^{2}}-4x+4=m \\
2{{x}^{3}}-6x=m \\
\end{matrix} \right.\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x$. Ta có ${h}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6=0\Leftrightarrow x\pm 1$.
Bảng biến thiên:
Xét hàm số $g\left( x \right)=2{{x}^{2}}-4x+4$. Ta có bảng biến thiên:
Phát họa đồ thị của hàm số $h\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x$ và $g\left( x \right)=2{{x}^{2}}-4x+4$ trên mặt phẳng tọa độ:
Từ hình vẽ ta thấy để $\left( 1 \right)$ có $5$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2<m<4$.
{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-m+2={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-2 \\
{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-m+2=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+2 \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
2{{x}^{2}}-4x+4=m \\
2{{x}^{3}}-6x=m \\
\end{matrix} \right.\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x$. Ta có ${h}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6=0\Leftrightarrow x\pm 1$.
Bảng biến thiên:
Xét hàm số $g\left( x \right)=2{{x}^{2}}-4x+4$. Ta có bảng biến thiên:
Đáp án C.