Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình ${{\log...

${{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
& 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
& \left( 7-m \right){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$
Bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)$ nghiệm đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 (1) \\
& \left( 7-m \right){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 (2) \\
\end{aligned} \right. $ nghiệm đúng với mọi $ x$ thực.
Khi $m=0$ thì (1) trở thành $4x>0\Leftrightarrow x>0\Rightarrow m=0$ không thỏa mãn
Khi $m=7$ thì (2) trở thành $-4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0\Rightarrow m=7$ không thỏa mãn
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 (1) \\
& \left( 7-m \right){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0 (2) \\
\end{aligned} \right. $ nghiệm đúng với mọi $ x$ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& 4-{{m}^{2}}<0 \\
& 7-m>0 \\
& 4-{{\left( 7-m \right)}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<m<7 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 9 \\
& m\le 5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 5 $. Do $ m\in \mathbb{Z} $ nên $ m\in \!\!\{\!\!3;4;5\}$ nên có 3 giá trị.