Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên trong $\left[ -2022;2022 \right]$...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& mx>0 \\
& x>-1 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình suy ra: $mx={{\left( x+1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow m=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}, \left( x\ne 0 \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}$ trên khoảng $\left( -1; +\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$
Ta có: ${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$, ${f}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\pm 1$
BBT của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( -1; +\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$
Từ bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm duy nhất khi $\left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -2022; 2022 \right]$ ta có: $m=\left\{ -2022; -2021;.....; -1; 4 \right\}$.