Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên trong đoạn $\left[ -2017;2017...

Điều kiện: $x>-1.$
Ta có: $\log \left( mx \right)=2\log \left( x+1 \right)\Leftrightarrow mx={{\left( x+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( 2-m \right)x+1=0.$
Ta có: $\Delta ={{m}^{2}}-4m+4-4={{m}^{2}}-4m.$ Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 trường hợp.
TH1: Phương trình trên có nghiệm duy nhất: ${{m}^{2}}=4m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right.. $ Tuy nhiên giá trị $ m=0 $ loại do khi đó nghiệm là $ x=-1.$
TH2: Phương trình trên có 2 nghiệm thoả: ${{x}_{1}}\le -1<{{x}_{2}}.$
Nếu có ${{x}_{1}}=-1\Rightarrow 1-\left( 2-m \right)+1=0\Rightarrow m=0,$ thay lại vô lý.
${{x}_{1}}<-1<{{x}_{2}}\Rightarrow \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)<0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1<0\Rightarrow 1+m-2+1<0\Leftrightarrow m<0.$
Như vậy sẽ có các giá trị $-2017;-2016;...;-1$ và 4. Có 2018 giá trị.