Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn $\left[ -2020;2020...

Cách 1: Ta có ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}-2m+5$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\forall x\in (0;+\infty )$
$\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-6x-2m+5\ge 0,\forall x\in (0;+\infty )\Leftrightarrow 3{{(x-1)}^{2}}\ge 2m-2,\forall x\in (0;+\infty )$
Vì ${{(x-1)}^{2}}\ge 0,\forall x\in (0;+\infty )$ (dấu bằng xảy ra khi $x=1$ ) nên
$3{{(x-1)}^{2}}\ge 2m-2,\forall x\in (0;+\infty )\Leftrightarrow 2m-2\le 0\Leftrightarrow m\le 1$.
Do m nguyên và $m\in \left[ -2020;2020 \right]\Rightarrow m\in \left\{ -2020;-2019;-2018;...;0;1 \right\}$.
Vậy có 2022 giá trị m thỏa mãn đề bài.
Cách 2: Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6\text{x}-2m+5;{\Delta }'=9+6\text{a}-15=6\text{a}-6$.
+) Nếu ${\Delta }'\le 0\Leftrightarrow m\le 1$ thì ${y}'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ do đó, hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.
+) Nếu ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>1$ thì phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}({{x}_{1}}<{{x}_{2}})$.
Khi đó, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;{{x}_{1}})$ và $({{x}_{2}};+\infty )$.
Để hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ thì ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}<0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2<0 \\
& \dfrac{-2m+5}{3}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$ (vô nghiệm).
Do vậy, $m\le 1$ thỏa mãn bài toán.
Mà m nguyên và $m\in \left[ -2020;2020 \right]\Rightarrow m\in \left\{ -2020;-2019;-2018;...;0;1 \right\}$.
Vậy có 2022 giá trị m thỏa mãn đề bài.