Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\left( 2x-2002 \right)+x=y+1002+{{2}^{y}}$ và $1002\le x\le 2022$ ?
A. $10$.
B. $11$.
C. $12$.
D. $18$.
A. $10$.
B. $11$.
C. $12$.
D. $18$.
Điều kiện: $x>1001$.
Pt $\Leftrightarrow 1+{{\log }_{2}}\left( x-1001 \right)+x-1001=y+1+{{2}^{y}}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-1001 \right)+{{2}^{{{\log }_{2}}\left( x-1001 \right)}}=y+{{2}^{y}}$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{2}^{t}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên pt $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-1001 \right)=y\Leftrightarrow x={{2}^{y}}+1001$.
Ta có: $1002\le x\le 2022\Leftrightarrow 1002\le {{2}^{y}}+1001\le 2022$ $\Leftrightarrow 0\le y\le {{\log }_{2}}1021$
Mà $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;...;9 \right\}$.
Vậy có $10$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.
Pt $\Leftrightarrow 1+{{\log }_{2}}\left( x-1001 \right)+x-1001=y+1+{{2}^{y}}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-1001 \right)+{{2}^{{{\log }_{2}}\left( x-1001 \right)}}=y+{{2}^{y}}$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{2}^{t}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên pt $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-1001 \right)=y\Leftrightarrow x={{2}^{y}}+1001$.
Ta có: $1002\le x\le 2022\Leftrightarrow 1002\le {{2}^{y}}+1001\le 2022$ $\Leftrightarrow 0\le y\le {{\log }_{2}}1021$
Mà $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;...;9 \right\}$.
Vậy có $10$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.