Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thỏa mãn ${{\log...

Điều kiện $\dfrac{x+y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2}>0\Leftrightarrow x+y>0.$
${{\log }_{\sqrt{3}}}\dfrac{x+y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2}=x\left( x-3 \right)+y\left( y-3 \right)+xy$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}\left( x+y \right)-2{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2 \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-3y$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}\left( x+y \right)+2-2{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2 \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2-3x-3y$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}\left( 3x+3y \right)+\left( 3x+3y \right)=2{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2 \right)+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)=2{{\log }_{3}}t+t, t\in \left( 0;+\infty \right), $ ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2}{t.\ln 3}+1>0, \forall t\in \left( 0;+\infty \right).$
Suy ra hàm $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Phương trình $\Leftrightarrow f\left( 3x+3y \right)=f\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+2=3x+3y$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( 3-y \right)x+{{y}^{2}}-3y+2=0$.
Điều kiện của $y$ để phương trình có nghiệm là ${{\left( 3-y \right)}^{2}}-4\left( {{y}^{2}}-3y+2 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow -3{{y}^{2}}+6y+1\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{3-2\sqrt{2}}{3}\le y\le \dfrac{3+2\sqrt{2}}{3}$.
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
+ Với $y=0$, ta được ${{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Với $y=1$, ta được ${{x}^{2}}+2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Với $y=2$, ta được ${{x}^{2}}+x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có $6$ cặp số thỏa mãn đề bài.