Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $0<y\le...

${{3}^{x}}+3x-6=9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}\Rightarrow {{3}^{x}}+3\left( x-1 \right)=9y+3{{\log }_{3}}y+3$
$\Rightarrow {{3}^{x}}+3\left( x-1 \right)=9y+3{{\log }_{3}}\left( 3y \right)\Rightarrow {{3}^{x-1}}+\left( x-1 \right)=3y+{{\log }_{3}}\left( 3y \right)$.
Đặt ${{3}^{x-1}}=u\Rightarrow x-1={{\log }_{3}}u,\left( u>0 \right)$, suy ra: $u+{{\log }_{3}}u=3y+{{\log }_{3}}\left( 3y \right)\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 3}>0,\forall t>0$ nên từ (*) suy ra:
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( 3y \right)\Leftrightarrow u=3y$
Khi đó ta có: $3y={{3}^{x-1}}\Leftrightarrow y={{3}^{x-2}}\left( ** \right)$
Theo giả thiết $\left\{ \begin{aligned}
& y\in \mathbb{Z} \\
& 0<y\le 2021 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 1\le y\le 2021$, suy ra:
$\left\{ \begin{aligned}
& x\in \mathbb{Z} \\
& 1\le {{3}^{x-2}}\le 2021 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\in \mathbb{Z} \\
& 0\le x-2\le {{\log }_{3}}2021\approx 6,928 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\in \mathbb{Z} \\
& 0\le x-2\le 6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\in \mathbb{Z} \\
& 2\le x\le 8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}$ (có 7 số).
Từ (**) ta có, ứng với mỗi giá trị của x, cho duy nhất một giá trị của y nên có 7 cặp.