Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ sao cho đẳng thức sau được thỏa mãn ${{\log }_{2022}}{{\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023 \right)}^{{{y}^{2}}+101}}-20y-1=0?$
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
Đặt $m={{\log }_{2022}}\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023 \right).$ Ta có:
$\left( {{y}^{2}}+101 \right).m=20y+1\Leftrightarrow m{{y}^{2}}-20y+101m-1=0\ $ (*)
Do $m={{\log }_{2022}}\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023 \right)={{\log }_{2022}}\left( {{\left( {{2}^{x}}-1 \right)}^{2}}+2022 \right)\ge {{\log }_{2022}}2022$ nên $m\ge 1 $ (1)
Phương trình (*) có nghiệm $y$ khi và chỉ khi $\Delta '=-101{{m}^{2}}+m+100\ge 0\Leftrightarrow -\dfrac{100}{101}\le m\le 1$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $m=1\Leftrightarrow {{\log }_{2022}}\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023 \right)=1\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}-1 \right)}^{2}}+2022=2022\Leftrightarrow {{2}^{x}}-1=0\Leftrightarrow x=0.$
Khi đó: ${{y}^{2}}-20y+100=0\Leftrightarrow y=10.$ Vậy $x=0,\ y=10.$
$\left( {{y}^{2}}+101 \right).m=20y+1\Leftrightarrow m{{y}^{2}}-20y+101m-1=0\ $ (*)
Do $m={{\log }_{2022}}\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023 \right)={{\log }_{2022}}\left( {{\left( {{2}^{x}}-1 \right)}^{2}}+2022 \right)\ge {{\log }_{2022}}2022$ nên $m\ge 1 $ (1)
Phương trình (*) có nghiệm $y$ khi và chỉ khi $\Delta '=-101{{m}^{2}}+m+100\ge 0\Leftrightarrow -\dfrac{100}{101}\le m\le 1$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $m=1\Leftrightarrow {{\log }_{2022}}\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023 \right)=1\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}-1 \right)}^{2}}+2022=2022\Leftrightarrow {{2}^{x}}-1=0\Leftrightarrow x=0.$
Khi đó: ${{y}^{2}}-20y+100=0\Leftrightarrow y=10.$ Vậy $x=0,\ y=10.$
Đáp án C.