Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{2}^{x}}+y\le 2020$ và ${{\log }_{3}}\dfrac{{{\left( x+4y \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}=4{{(x-y)}^{2}}+{{\log }_{3}}5$ ?
A. $5$.
B. $10$.
C. $7$.
D. $6$.
+) Ta có: ${{\log }_{3}}\dfrac{{{\left( x+4y \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}=4{{(x-y)}^{2}}+{{\log }_{3}}5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left( x+4y \right)}^{2}}-{{\log }_{3}}({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})=5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})-{{\left( x+4y \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left( x+4y \right)}^{2}}+{{\left( x+4y \right)}^{2}}={{\log }_{3}}5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})+5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})$ (*).
+) Xét hàm số $f(t)={{\log }_{5}}t+t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.\ln 5}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow $ $f(t)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
+) Khi đó (*) $\Leftrightarrow f\left[ {{\left( x+4y \right)}^{2}} \right]=f\left[ 5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}}) \right]\Leftrightarrow {{\left( x+4y \right)}^{2}}=5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki,ta có:
${{\left( x+4y \right)}^{2}}={{\left( 1.x+2.2y \right)}^{2}}\le ({{1}^{2}}+{{2}^{2}}).({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})=5.({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})$
+) Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{x}{1}=\dfrac{2y}{2}\Leftrightarrow x=y$.
+) Theo giả thiết: ${{2}^{x}}+y\le 2020\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x\le 2020$.
+) Đặt $g(x)={{2}^{x}}+x\Rightarrow g'(x)={{2}^{x}}\ln 2+1>0,\forall x\Rightarrow g(x)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
+) Ta thấy, $1034=g(10)<2020<g(11)=2059$. Mà x nguyên dương $\Rightarrow g(x)\le 2020\Leftrightarrow x\in \left\{ 1;2;3;...;10 \right\}$
$\Rightarrow \left( x;y \right)\in \left\{ \left( 1;1 \right);\left( 2;2 \right);\left( 3;3 \right);\left( 4;4 \right);\left( 5;5 \right);(6;6);(7;7);\left( 8;8 \right);\left( 9;9 \right);(10;10) \right\}$.
Vậy có 10 cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đề bài.
A. $5$.
B. $10$.
C. $7$.
D. $6$.
+) Ta có: ${{\log }_{3}}\dfrac{{{\left( x+4y \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}=4{{(x-y)}^{2}}+{{\log }_{3}}5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left( x+4y \right)}^{2}}-{{\log }_{3}}({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})=5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})-{{\left( x+4y \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left( x+4y \right)}^{2}}+{{\left( x+4y \right)}^{2}}={{\log }_{3}}5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})+5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})$ (*).
+) Xét hàm số $f(t)={{\log }_{5}}t+t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.\ln 5}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow $ $f(t)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
+) Khi đó (*) $\Leftrightarrow f\left[ {{\left( x+4y \right)}^{2}} \right]=f\left[ 5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}}) \right]\Leftrightarrow {{\left( x+4y \right)}^{2}}=5({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki,ta có:
${{\left( x+4y \right)}^{2}}={{\left( 1.x+2.2y \right)}^{2}}\le ({{1}^{2}}+{{2}^{2}}).({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})=5.({{x}^{2}}+4{{y}^{2}})$
+) Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{x}{1}=\dfrac{2y}{2}\Leftrightarrow x=y$.
+) Theo giả thiết: ${{2}^{x}}+y\le 2020\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x\le 2020$.
+) Đặt $g(x)={{2}^{x}}+x\Rightarrow g'(x)={{2}^{x}}\ln 2+1>0,\forall x\Rightarrow g(x)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
+) Ta thấy, $1034=g(10)<2020<g(11)=2059$. Mà x nguyên dương $\Rightarrow g(x)\le 2020\Leftrightarrow x\in \left\{ 1;2;3;...;10 \right\}$
$\Rightarrow \left( x;y \right)\in \left\{ \left( 1;1 \right);\left( 2;2 \right);\left( 3;3 \right);\left( 4;4 \right);\left( 5;5 \right);(6;6);(7;7);\left( 8;8 \right);\left( 9;9 \right);(10;10) \right\}$.
Vậy có 10 cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án B.