Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( a;b \right)$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-3x+b$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
A. $5$
B. $4$
C. $1$
D. Vô số
Ta có:
${{y}^{'}}=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2ax-3=0$ phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt $x=\dfrac{-a\pm \sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3}$.
Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: $y=\dfrac{2}{3}\left( -3-\dfrac{a}{3} \right)x+b+\dfrac{a}{3}$.
Ta có ${{y}_{cd}}=y\left( \dfrac{-a-\sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3} \right)=\dfrac{2}{3}\left( -3-\dfrac{a}{3} \right)\left( \dfrac{-a-\sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3} \right)+b+\dfrac{a}{3}>0,\forall a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.
Do vậy ĐTHS cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
${{y}_{ct}}=y\left( \dfrac{-a-\sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3} \right)=\dfrac{2}{3}\left( -3-\dfrac{a}{3} \right)\left( \dfrac{-a+\sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3} \right)+b+\dfrac{a}{3}=\dfrac{2{{a}^{3}}-2\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+9 \right)}^{3}}}+27\left( a+b \right)}{27}<0$
Ta có: $g\left( 1 \right)\approx 1,27;g\left( 2 \right)\approx 0.879.$ Do đó $a=1\Rightarrow b<1,27\Rightarrow \left( a;b \right)=\left( 1;1 \right);$
nếu $a\ge 2\Rightarrow b<g\left( a \right)\le g\left( 2 \right)\approx 0,879$ trường hợp này không có cặp sô nguyên dương $\left( a;b \right)$ nào.
Như vậy có cặp sô nguyên dương $\left( a;b \right)=\left( 1;1 \right)$ duy nhất.
A. $5$
B. $4$
C. $1$
D. Vô số
Ta có:
${{y}^{'}}=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2ax-3=0$ phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt $x=\dfrac{-a\pm \sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3}$.
Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: $y=\dfrac{2}{3}\left( -3-\dfrac{a}{3} \right)x+b+\dfrac{a}{3}$.
Ta có ${{y}_{cd}}=y\left( \dfrac{-a-\sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3} \right)=\dfrac{2}{3}\left( -3-\dfrac{a}{3} \right)\left( \dfrac{-a-\sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3} \right)+b+\dfrac{a}{3}>0,\forall a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.
Do vậy ĐTHS cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
${{y}_{ct}}=y\left( \dfrac{-a-\sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3} \right)=\dfrac{2}{3}\left( -3-\dfrac{a}{3} \right)\left( \dfrac{-a+\sqrt{{{a}^{2}}+9}}{3} \right)+b+\dfrac{a}{3}=\dfrac{2{{a}^{3}}-2\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+9 \right)}^{3}}}+27\left( a+b \right)}{27}<0$
$\Leftrightarrow b<g\left( a \right)=\dfrac{2\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+9 \right)}^{3}}}-2{{a}^{3}}-27}{27}$.
Ta có: $g'\left( a \right)=\dfrac{1}{9}\left( 2a\left( \sqrt{{{a}^{2}}+9}-a \right)-9 \right)=\dfrac{2a}{\sqrt{{{a}^{2}}+9}-a}-1<0,\forall a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.Ta có: $g\left( 1 \right)\approx 1,27;g\left( 2 \right)\approx 0.879.$ Do đó $a=1\Rightarrow b<1,27\Rightarrow \left( a;b \right)=\left( 1;1 \right);$
nếu $a\ge 2\Rightarrow b<g\left( a \right)\le g\left( 2 \right)\approx 0,879$ trường hợp này không có cặp sô nguyên dương $\left( a;b \right)$ nào.
Như vậy có cặp sô nguyên dương $\left( a;b \right)=\left( 1;1 \right)$ duy nhất.
Đáp án C.