Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số $\left( x; y \right)$ với $x, y$ là các số nguyên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: ${{4.2}^{{{y}^{4}}-2{{y}^{2}}}}-2{{\log }_{2}}\left( 2x \right)+x=0$ và $2{{\log }_{2}}\left( x+y \right)-x-y\ge 0$ ?
A. $6.$
B. $2.$
C. $4.$
D. $9.$
Xét đồ thị 2 hàm số $y=2{{\log }_{2}}x$ và $y=x$ trên khoảng $\left( 0; +\infty \right)$.
Từ đó suy ra tập nghiệm chủa bất phương trình $2{{\log }_{2}}x -x\ge 0\Leftrightarrow 2\le x\le 4$.
+ $2{{\log }_{2}}\left( x+y \right)-x-y\ge 0\Leftrightarrow 2\le x+y\le 4 \left( 1 \right)$.
+ ${{4.2}^{{{y}^{4}}-2{{y}^{2}}}}-2{{\log }_{2}}\left( 2x \right)+x=0$ $\Leftrightarrow {{2.2}^{{{\left( {{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}}}=2{{\log }_{2}}x -x+2$.
Điều kiện có nghiệm: $2{{\log }_{2}}x -x+2\ge 2\Leftrightarrow 2\le x\le 4$.
Với $x=2\Rightarrow {{2.2}^{{{\left( {{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}}}=2\Rightarrow y=\pm 1$.
Với $x=3$ (loại), vì $VP=2{{\log }_{2}}3 -1\notin \mathbb{Z}$.
Với $x=4\Rightarrow {{2.2}^{{{\left( {{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}}}=2\Rightarrow y=\pm 1$
Kết hợp với điều kiện $\left( 1 \right)$, ta có 2 cặp số nguyên là $\left( 2; 1 \right)$ và $\left( 4; -1 \right)$.
A. $6.$
B. $2.$
C. $4.$
D. $9.$
Từ đó suy ra tập nghiệm chủa bất phương trình $2{{\log }_{2}}x -x\ge 0\Leftrightarrow 2\le x\le 4$.
+ $2{{\log }_{2}}\left( x+y \right)-x-y\ge 0\Leftrightarrow 2\le x+y\le 4 \left( 1 \right)$.
+ ${{4.2}^{{{y}^{4}}-2{{y}^{2}}}}-2{{\log }_{2}}\left( 2x \right)+x=0$ $\Leftrightarrow {{2.2}^{{{\left( {{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}}}=2{{\log }_{2}}x -x+2$.
Điều kiện có nghiệm: $2{{\log }_{2}}x -x+2\ge 2\Leftrightarrow 2\le x\le 4$.
Với $x=2\Rightarrow {{2.2}^{{{\left( {{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}}}=2\Rightarrow y=\pm 1$.
Với $x=3$ (loại), vì $VP=2{{\log }_{2}}3 -1\notin \mathbb{Z}$.
Với $x=4\Rightarrow {{2.2}^{{{\left( {{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}}}=2\Rightarrow y=\pm 1$
Kết hợp với điều kiện $\left( 1 \right)$, ta có 2 cặp số nguyên là $\left( 2; 1 \right)$ và $\left( 4; -1 \right)$.
Đáp án B.