Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu các số nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình: $\left( {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right)<0$ có không quá 9 nghiệm nguyên?
A. $3281$.
B. $3283$.
C. $3280$.
D. $3279$.
A. $3281$.
B. $3283$.
C. $3280$.
D. $3279$.
$\left( {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right)<0\Leftrightarrow \left( {{9.3}^{x}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right)<0$.
Đặt $t={{3}^{x}},t>0$
Ta được $\left( 9.t-\sqrt{3} \right)\left( t-2m \right)<0$.
TH1: $2m<\dfrac{\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow m<\dfrac{\sqrt{3}}{18}$, khi đó: $2m<t<\dfrac{\sqrt{3}}{9}$ mà $t>0,t\in \mathbb{Z}$ suy ra không có t thỏa.
TH2: $2m>\dfrac{\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow m>\dfrac{\sqrt{3}}{18}$, khi đó: $\dfrac{\sqrt{3}}{9}<t<2m$ thỏa mãn mà $t>0$
$\dfrac{\sqrt{3}}{9}<{{3}^{x}}<2m\Leftrightarrow \dfrac{-3}{2}<x<{{\log }_{3}}2m$
Để bất phương trình ban đầu có tập nghiệm chứa không quá 9 số nguyên thì
$x\in \left\{ -1;0;...;7 \right\}$
suy ra: ${{\log }_{3}}2m\le 8\Leftrightarrow 2m\le {{3}^{8}}\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{3}^{8}}}{2}$
Mà $m$ là số nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;...;3280 \right\}$.
Đặt $t={{3}^{x}},t>0$
Ta được $\left( 9.t-\sqrt{3} \right)\left( t-2m \right)<0$.
TH1: $2m<\dfrac{\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow m<\dfrac{\sqrt{3}}{18}$, khi đó: $2m<t<\dfrac{\sqrt{3}}{9}$ mà $t>0,t\in \mathbb{Z}$ suy ra không có t thỏa.
TH2: $2m>\dfrac{\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow m>\dfrac{\sqrt{3}}{18}$, khi đó: $\dfrac{\sqrt{3}}{9}<t<2m$ thỏa mãn mà $t>0$
$\dfrac{\sqrt{3}}{9}<{{3}^{x}}<2m\Leftrightarrow \dfrac{-3}{2}<x<{{\log }_{3}}2m$
Để bất phương trình ban đầu có tập nghiệm chứa không quá 9 số nguyên thì
$x\in \left\{ -1;0;...;7 \right\}$
suy ra: ${{\log }_{3}}2m\le 8\Leftrightarrow 2m\le {{3}^{8}}\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{3}^{8}}}{2}$
Mà $m$ là số nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;...;3280 \right\}$.
Đáp án C.