Có bao nhiêu bộ $\left( x;y \right)$ với $x,y$ nguyên và $1\le...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x,y\in N*:x,y\le 2020 \\
& \dfrac{2x+1}{x-3}>0,\dfrac{2y}{y+2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x,y\in N*:x,y\le 2020 \\
& x>3,y>0 \\
\end{aligned} \right..$
BPT cho có dạng $(x-3)(y-2){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-2}+1 \right)+(x+4)(y+2){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)\le 0(*).$
Xét $y=1$ thì (*) thành $-(x-3){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)+3(x+4){{\log }_{3}}\dfrac{2}{3}\le 0$, rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi $x>3$ vì $-(x-3)<0;{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)>{{\log }_{2}}(0+1)=0,3(x+4)>0,{{\log }_{3}}\dfrac{2}{3}<0.$
Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ $(x;y)=(x;1)$ với $4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}.$
Xét $y=2$ thì (*) thành $4(x+4){{\log }_{3}}1\le 0,$ BPT này cũng luôn đúng với mọi $x$ mà $4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}.$
Trường hợp này cho ta 2017 cặp $(x;y)$ nữa.
Với $y>2,x>3$ thì VT(*) > 0 nên (*) không xảy ra
Vậy có đúng 4034 bộ số $(x;y)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.