Bài toán
1 lò xo nhẹ có độ dài tự nhiên
được cắt thành 2 đoạn
có độ cứng tương ứng
. Sau đó 2 lò xo được nối vào vật có khối lượng
và có kích thước không đáng kể; tạo thành hệ cơ như hình vẽ
. Biết mặt phẳng nghiêng AB cố định và nghiêng góc
so với phương nằm ngang.
1. Bỏ qua ma sát.
- kéo vật m dọc theo phương AB 1 đoạn nhỏ rồi thả nhẹ; chứng minh vật dao động điều hòa.
- biết khi vật có li độ thì động năng của vật bằng cơ năng của hệ và tốc độ trung bình của vật trong 1 chu kì băng . Tìm tần số dao động của vật.
- cho biết khoảng cách ; tìm độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật ở VTCB.
Để đơn giản hóa việc chứng minh (nhưng hoàn toàn không làm mất đi tính tổng quát cũng như bản chất vật lý của bài toán) tôi giả sử rằng: "khoảng cách hai điểm gắn lò xo vào giá cố định cách nhau một khoảng sao cho nếu đặt hệ với kích thước và liên kết đó lên mặt phẳng ngang thì lò xo không biến dạng". Và để thuận tiện cho thói quen của mình, tôi chọn chiều dương hướng xuống như hình vẽ.
Tại vị trí cân bằng
Chiếu lên chiều dương, ta có
Xét vật tại vị trí nằm dưới VTCB một đoạn bằng x, chọn gốc thế năng tại VTCB, gốc tọa độ tại VTCB, chiều dương hướng xuống.
Động năng của hệ:
Thế năng của hệ:
Cơ năng của hệ:
Bỏ qua ma sát thì cơ năng của hệ được bảo toàn nên
Vì
,
và tại thời điểm khảo sát vận tốc của vật khác không (
) nên ta suy ra
Đặt
, ta có
. Phương trình vi phân này chứng tỏ vật dao động điều hòa với tần số góc
.
b) Gọi x là vị trí mà vật có
, ta có
Theo đề,
suy ra
.
Tốc độ trung bình trong một chu kỳ
Tần số dao động
c) Với độ dài đoạn
thì khi đặt hệ trên mặt phẳng nằm ngang lò xo 1 và lò xo 2 đều giãn ra một đoạn lần lượt là
và
. Ta có
Mặc khác theo định luật Húc thì
Suy ra
và
.
Bây giờ, ta đặt hệ trên mặt phẳng nghiêng thì ở VTCB lò xo 1 bị nén lại, lò xo 2 bị dãn ra những đoạn bằng nhau và bằng
Ta có
Suy ra
Như vậy, tại VTCB độ biến dạng của lò xo 1 là
và độ biến dạng của lò xo 2 là
........................................
Ps: Một bài viết dài nên sau khi viết có dành một thời gian không nhỏ sửa lại Latex sao cho hiệu ứng hiển thị là hiệu quả nhất theo suy nghĩ của tôi. Hy vọng các Admin không sửa lại những cái mà không vi phạm quy định của diễn đàn.