Google
Câu hỏi: Chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ${{60}^{o}}$. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB sao cho $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. Gọi $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ lần lượt là giao tuyến của hai mặt cầu ngoại tiếp các khối chóp S.ABCD và S.CDM. Biết rằng $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ có giao tuyến là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng
A. $2a.$
B. $3a.$
C. $\dfrac{5a}{8}.$
D. $\dfrac{3a}{8}.$
A. $2a.$
B. $3a.$
C. $\dfrac{5a}{8}.$
D. $\dfrac{3a}{8}.$
Ta dễ thấy đường tròn giao tuyến cần tìm chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD. Gọi I là trung điểm của CD. Từ giả thiết ta suy ra $SI=a$.
Khi đó $SC=SD=\sqrt{S{{I}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Mặt khác ${{S}_{\Delta SCD}}=\dfrac{1}{2}SI.CD=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {{R}_{\Delta SCD}}=\dfrac{SC.SD.CD}{4{{S}_{\Delta SCD}}}=\dfrac{5a}{8}$
Khi đó $SC=SD=\sqrt{S{{I}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Mặt khác ${{S}_{\Delta SCD}}=\dfrac{1}{2}SI.CD=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {{R}_{\Delta SCD}}=\dfrac{SC.SD.CD}{4{{S}_{\Delta SCD}}}=\dfrac{5a}{8}$
Đáp án C.