Google
Câu hỏi: Chohàmsố $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$,với $m$ là tham số thực.Giả sử $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục $Ox$ tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ
Gọi ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$, ${{S}_{3}}$ là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của $m$ để ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}$ là
A. $\dfrac{5}{2}$
B. $-\dfrac{5}{2}$
C. $\dfrac{5}{4}$
D. $-\dfrac{5}{4}$
Gọi ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$, ${{S}_{3}}$ là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của $m$ để ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}$ là
A. $\dfrac{5}{2}$
B. $-\dfrac{5}{2}$
C. $\dfrac{5}{4}$
D. $-\dfrac{5}{4}$
Gọi ${{x}_{1}}$ là nghiệm dương lớn nhất của phương trình ${{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m=0$,ta có $m=-x_{1}^{4}+3x_{1}^{2}$ $\left( 1 \right)$.
Vì ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}$ và ${{S}_{1}}={{S}_{3}}$ nên ${{S}_{2}}=2{{S}_{3}}$ hay $\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{f\left( x \right)\text{d}x}=0$.
Mà $\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{f\left( x \right)\text{d}x}$ $=\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)\text{d}x}$ $=\left. \left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right) \right|_{0}^{{{x}_{1}}}$ $=\dfrac{x_{1}^{5}}{5}-x_{1}^{3}+m{{x}_{1}}$ $={{x}_{1}}\left( \dfrac{x_{1}^{4}}{5}-x_{1}^{2}+m \right)$.
Dođó, ${{x}_{1}}\left( \dfrac{x_{1}^{4}}{5}-x_{1}^{2}+m \right)=0$ $\Leftrightarrow $ $\dfrac{x_{1}^{4}}{5}-x_{1}^{2}+m=0$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$,tacóphươngtrình $\dfrac{x_{1}^{4}}{5}-x_{1}^{2}-x_{1}^{4}+3x_{1}^{2}=0$ $\Leftrightarrow $ $-4x_{1}^{4}+10x_{1}^{2}=0$ $\Leftrightarrow $ $x_{1}^{2}=\dfrac{5}{2}$.
Vậy $m=-x_{1}^{4}+3x_{1}^{2}$ $=\dfrac{5}{4}$.
Vì ${{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}$ và ${{S}_{1}}={{S}_{3}}$ nên ${{S}_{2}}=2{{S}_{3}}$ hay $\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{f\left( x \right)\text{d}x}=0$.
Mà $\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{f\left( x \right)\text{d}x}$ $=\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)\text{d}x}$ $=\left. \left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right) \right|_{0}^{{{x}_{1}}}$ $=\dfrac{x_{1}^{5}}{5}-x_{1}^{3}+m{{x}_{1}}$ $={{x}_{1}}\left( \dfrac{x_{1}^{4}}{5}-x_{1}^{2}+m \right)$.
Dođó, ${{x}_{1}}\left( \dfrac{x_{1}^{4}}{5}-x_{1}^{2}+m \right)=0$ $\Leftrightarrow $ $\dfrac{x_{1}^{4}}{5}-x_{1}^{2}+m=0$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$,tacóphươngtrình $\dfrac{x_{1}^{4}}{5}-x_{1}^{2}-x_{1}^{4}+3x_{1}^{2}=0$ $\Leftrightarrow $ $-4x_{1}^{4}+10x_{1}^{2}=0$ $\Leftrightarrow $ $x_{1}^{2}=\dfrac{5}{2}$.
Vậy $m=-x_{1}^{4}+3x_{1}^{2}$ $=\dfrac{5}{4}$.
Đáp án C.